一元复合函数链式法则

说明

带帽的字母 表示 的是 函数操作符， 不带帽的字母 表示的是 该函数所得的值。 举例 如下：

ĝ表示函数操作符, g表示该函数所得的值 ; ŷ、y 同理。

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$\frac{dy}{dx}$ 即 $\frac{Δy}{Δx}$

证明

已知$y=ŷ(ĝ(x))$ ， 证明 链式法则 $\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δy}{Δg}\frac{Δg}{Δx}$ 。

证明过程：

$\frac{Δy}{Δx}=\frac{ŷ(ĝ(x+Δx)) - ŷ(ĝ(x))}{Δx}$ 此为 $\frac{Δy}{Δx}$ 的定义式

以下 只看 右边式子 $\frac{ŷ(ĝ(x+Δx)) - ŷ(ĝ(x))}{Δx}$

如果 :

1. $ĝ(x+Δx)换成g+Δg$ ，
2. $ĝ(x)换成g$，

上式可写成： $\frac{ŷ(g+Δg) - ŷ(g)}{Δx}$

再 乘以 除以 Δg, 上式可写成：

$\frac{ŷ(g+Δg) - ŷ(g)}{Δg}\frac{Δg}{Δx}$

如果：

3. Δg=$ĝ(x+Δx)-ĝ(x)$

上式子可以写成： $\frac{ŷ(g+Δg) - ŷ(g)}{Δg}\frac{ĝ(x+Δx)-ĝ(x)}{Δx}$， 此式即 $\frac{Δy}{Δg}\frac{Δg}{Δx}$

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而 第2点就是ĝ的定义，所以第2点成立

所需的 第1点 和 第3点 是一个意思，

同时很明显 第3点 就是 Δg 的定义, 所以第3点成立

从而第1点也成立

即 第1点、第2点、第3点 都成立，因此得证

举例

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比如 $ŷ(z)=sin(z)$ ，$ĝ(z)=z^2$

即： $ŷ(g)=sin(g)$，$ĝ(x)=x^2$ ；求 $\frac{Δy}{Δx}$

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1.求 $\frac{Δy}{Δg}$

$\frac{Δy}{Δg}=\frac{Δsin(g)}{Δg}=\frac{sin(g+Δg)-sin(g)}{Δg}$

而 $sin(g+Δg)=sin(g)cos(Δg)+cos(g)sin(Δg)=sin(g)+cos(g)Δg$

故而 $\frac{Δy}{Δg}=\frac{(sin(g)+cos(g)Δg)-sin(g)}{Δg}=cos(g)$

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2.求 $\frac{Δg}{Δx}$

$\frac{Δg}{Δx}=\frac{(x+Δx)^2-x^2}{Δx}$

而 $(x+Δx)^2=x^2+2xΔx+(Δx)^2$

故而 $\frac{Δg}{Δx}=\frac{(x^2+2xΔx+(Δx)^2)-x^2}{Δx}=\frac{2xΔx+(Δx)^2}{Δx}=2x+Δx$

注意 Δx 是无穷小, 而 2x 是有限实数, 因此 $2x+Δx=2x$

故而 $\frac{Δg}{Δx}=2x$

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3. 合起来 求 $\frac{Δy}{Δx}$

$\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δy}{Δg}\frac{Δg}{Δx}=cos(g)2x$

其中 g显然是 $ĝ(x)=x^2$

故而 $\frac{Δy}{Δx}=cos(x^2)2x$

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