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信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。信息论中包含的知识和概念在机器学习中也有应用，典型的例子是其核心思想『熵』的应用。

例如，决策树模型ID3、C4.5中是利用信息增益来确定划分特征而逐步生长和构建决策树的；其中，信息增益就是基于信息论中的熵。

1.熵（Entropy）

熵是1854年由克劳休斯提出的一个用来度量体系混乱程度的单位，并阐述了热力学第二定律熵增原理：在孤立系统中，体系与环境没有能量交换，体系总是自发的向混乱度增大的方向变化，使整个系统的熵值越来越大。

熵越大，表征的随机变量的不确定度越大，其含有的信息量越多。

熵 Entropy

随机变量 $X$ 可能的取值为 $\left\{ x_{1},x_{2} ,\dots ,x_{n} \right\}$ ，其概率分布为 $P\left( X=x_{i} \right) =p_{i}$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，则随机变量 $X$ 的熵定义为 $H(X)$ ：

H\left( X \right) =-\sum_{i=1}^{n}{P\left( x_{i} \right) logP\left( x_{i} \right) } =\sum_{i=1}^{n}{P\left( x_{i} \right) \frac{1}{logP\left( x_{i} \right) } }

2.联合熵（Joint Entropy ）

联合熵 Joint Entropy

联合熵，就是度量一个联合分布的随机系统的不确定度。分布为 $P(x,y)$ 的一对随机变量 $(X,Y)$ ，其联合熵定义为：

H\left( X,Y \right) =-\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{P\left( x_{i} ,y_{j} \right)} logP\left( x_{i},y_{j} \right) } =E\left[ \log\frac{1}{p(x,y)} \right]

联合熵的物理意义，是观察一个多随机变量的随机系统获得的信息量，是对二维随机变量 $(X,Y)$ 不确定性的度量。

3.条件熵（Conditional Entropy）

$Y$ 的条件熵是指『在随机变量 $X$ 发生的前提下，随机变量 $Y$ 发生新带来的熵』，用 $H(Y | X)$ 表示：

H\left(Y|X \right) =-\sum_{x,y}^{}{P\left( x,y \right) logP\left( y|x \right) }

条件熵 Conditional Entropy

条件熵的物理意义，在得知某一确定信息的基础上获取另外一个信息时所获得的信息量，用来衡量在已知随机变量的 $X$ 条件下，随机变量 $Y$ 的不确定性。

4.相对熵（Kullback–Leibler divergence）

相对熵在信息论中用来描述两个概率分布差异的熵，叫作KL散度、相对熵、互熵、交叉熵、信息增益。对于一个离散随机变量的两个概率分布 $P$ 和 $Q$ 来说，它们的相对熵定义为：

D\left( P||Q \right) =\sum_{i=1}^{n}{P\left( x_{i} \right) log\frac{P\left( x_{i} \right) }{Q\left( x_{i} \right) } }

相对熵 Kullback–Leibler divergence

注意：公式中 $P$ 表示真实分布， $Q$ 表示 $P$ 的拟合分布， $D(P||Q) ≠ D(Q||P)$

相对熵表示当用概率分布 $Q$ 来拟合真实分布 $P$ 时，产生的信息损耗。

5.交叉熵（Cross Entropy）

交叉熵 Cross Entropy

交叉熵在信息论中用于度量两个概率分布间的差异性。将上述相对熵（KL散度）公式拆开，可以得到 相对熵=交叉熵-熵。

\begin{aligned} D(P || Q) &=\sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \log \left(\frac{P\left(x_{i}\right)}{Q\left(x_{i}\right)}\right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \log \left(P\left(x_{i}\right)\right) -\sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \log \left(Q\left(x_{i}\right)\right) \\ &=- H(P(x)) +\left[-\sum_{i=1}^{n} P\left(x_{i}\right) \log \left(Q\left(x_{i}\right)\right)\right] \end{aligned}

因此，对于一个离散随机变量的两个概率分布 $P$ 和 $Q$ 来说，它们的交叉熵定义为：

H\left( P,Q \right) =-\sum_{i=1}^{n}{P\left( x_{i} \right) log({Q\left( x_{i} \right) } } )

使用机器学习训练网络时，输入数据与标签通常是确定的。那么，真实概率分布 $P(x)$ 是确定的，因此熵 $H(P(x))$ 是一个可以确定的常量。

由上述推导可得，交叉熵 = 相对熵+熵 = 相对熵+一个常量。所以交叉熵也可以用来描述真实概率分布 $P(x)$ 与预测概率分布 $Q(x)$ 的差异（值越小表示预测结果越好），且交叉熵的计算公式更简单。因此在机器学习中，通常使用交叉熵损失函数来计算Loss。

6.互信息（Mutual Information）

互信息是信息论里一种有用的信息度量方式，它可以看成是一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不肯定性。

互信息的计算方式定义如下：

I\left( X,Y \right) =\sum_{x\in X}^{}{\sum_{y\in Y}^{}{P\left( x,y \right) } log\frac{P\left( x,y \right) }{P\left( x \right) P\left( y \right) } }

互信息 Mutual Information

7.常用等式（useful equations）

1）条件熵、联合熵与熵之间的关系

H\left( Y|X \right) =H\left( X,Y\right) -H\left( X \right)

推导过程如下：

\begin{aligned} H(X, Y)-H(X) &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum_{x} p(x) \log p(x) \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum_{x}\left(\sum_{y} p(x, y)\right) \log p(x) \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x, y)+\sum_{x, y} p(x, y) \log p(x) \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x)} \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(y \mid x) \end{aligned}

第二行推到第三行的依据是边缘分布 $P(x)$ 等于联合分布 $P(x,y)$ 的和；
第三行推到第四行的依据是把公因子 $logP(x)$ 乘进去，然后把 $x,y$ 写在一起；
第四行推到第五行的依据是：因为两个 $\sigma$ 都有 $P(x,y)$ ，故提取公因子 $P(x,y)$ 放到外边，然后把里边的 $-（log P(x,y) - log P(x)）$ 写成 $- log (P(x,y) / P(x) )$ ；
第五行推到第六行的依据是： $P(x,y) = P(x) * P(y|x)$ ，故 $P(x,y) / P(x) = P(y|x)$ 。

2）条件熵、联合熵与互信息之间的关系

H\left( Y|X \right) =H\left( Y \right) -I\left( X,Y \right)

推导过程如下：

\begin{aligned} H(Y)-I(X, Y) &=-\sum_{y} p(y) \log p(y)-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \\ &=-\sum_{y}\left(\sum_{x} p(x, y)\right) \log p(y)-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(y)-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x)} \\ &=-\sum_{x, y} p(x, y) \log p(y \mid x) \\ &=H(Y \mid X) \end{aligned}

3）互信息的定义

常用等式 useful equations

由上方的两个公式

$H(Y|X) = H(Y) - I(X,Y)$
$H(Y|X) = H(X,Y) - H(X)$

可以推出 $I(X,Y)= H(X) + H(Y) - H(X,Y)$ ，此结论被多数文献作为互信息的定义

8.最大熵模型（Max Entropy Model）

机器学习领域，概率模型学习过程中有一个最大熵原理，即学习概率模型时，在所有可能的概率分布中，熵最大的模型是最好的模型。

通常用约束条件来确定模型的集合，所以最大熵模型原理也可以表述为：在满足约束条件的模型集合中，选取熵最大的模型。

前面我们知道，若随机变量 $X$ 的概率分布是 $P\left( x_{i} \right)$ ，其熵的定义如下：

H\left( X \right) =-\sum_{i=1}^{n}{P\left( x_{i} \right) logP\left( x_{i} \right) } =\sum_{i=1}^{n}{P\left( x_{i} \right) \frac{1}{logP\left( x_{i} \right) } }

最大熵模型 Max Entropy Model

熵满足下列不等式： $0\leq H\left( X \right) \leq log\left| X \right|$

$|X|$ 是 $X$ 的取值个数
当且仅当 $X$ 的分布是均匀分布时，右边的等号成立；也就是说，当 $X$ 服从均匀分布时，熵最大。

直观地看，最大熵原理认为：

要选择概率模型，首先必须满足已有的事实，即约束条件；
在没有更多信息的情况下，那些不确定的部分都是『等可能的』。最大熵原理通过熵的最大化来表示等可能性；『等可能』不易操作，而熵则是一个可优化的指标。

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