1 算法介绍
1.1 TSP介绍
“旅行商问题”(Traveling Salesman Problem,TSP)可简单描述为：一位销售商从n个城市中的某一城市出发，不重复地走完其余n-1个城市并回到原出发点，在所有可能路径中求出路径长度最短的一条。
旅行商的路线可以看作是对n城市所设计的一个环形，或者是对一列n个城市的排列。由于对n个城市所有可能的遍历数目可达(n-1)!个，因此解决这个问题需要O(n!)的计算时间。而由美国密执根大学的Holland教授发展起来的遗传算法，是一种求解问题的高效并行全局搜索方法，能够解决复杂的全局优化问题，解决TSP问题也成为遗传算法界的一个目标。
1.2 遗传算法求解tsp模型
巡回旅行商问题(TSP)是一个组合优化方面的问题，已经成为测试组合优化新算法的标准问题。应用遗传算法解决 TSP 问题，首先对访问城市序列进行排列组合的方法编码，这保证了每个城市经过且只经过一次。接着生成初始种群，并计算适应度函数，即计算遍历所有城市的距离。然后用最优保存法确定选择算子，以保证优秀个体直接复制到下一代。采用有序交叉和倒置变异法确定交叉算子和变异算子。
算法流程
旅行商问题的遗传算法实现
1.初始群体设定
一般都是随机生成一个规模为 N 的初始群体。在这里，我们定义一个s行t列的pop矩阵来表示群体，t 为城市个数 + 1，即 N + 1，s 为样本中个体数目。在本文探讨了 30 个城市的 TSP 问题，此时 t 取值 31，该矩阵中每一行的前 30 个元素表示经过的城市编号，最后一个元素表示适应度函数的取值，即每个个体所求的距离。
2.适应度函数的设计是根据个体适应值对其优劣判定的评价函数。在该问题中用距离的总和作为适应度函数，来衡量求解结果是否最优。
3.选择指以一定的概率从群体中选择优胜个体的操作，它是建立在群体中个体适应度评估基础上的。为了加快局部搜索的速度，在算法中采用最优保存策略的方法，即将群体中适应度最大的个体直接替换适应度最小的个体。它们不进行交叉和变异运算，而是直接复制到下一代，以免交叉和变异运算破坏种群中的优秀解答。
4.交叉算子是产生新个体的主要手段。它是指将个体进行两两配对，以交叉概率 Pc 将配对的父代个体的部分结构加以替换重组生成新个体的操作。本文中采用有序交叉法来实现。有序交叉法的步骤描述如下:
5.变异操作是以较小的概率 Pm 对群体中个体编码串上的某位或者某些位作变动，从而生成新的个体。本文中采用倒置变异法:假设当前个体 X为(1 3 7 4 8 0 5 9 6 2)，如果当前随机概率值小于 Pm，则随机选择来自同一个体的两个点mutatepoint(1) 和 mutatepoint(2)，然后倒置两点的中间部分，产生新的个体。例如，假设随机选择个体 X 的两个点“7”和“9”，则倒置该两个点的中间部分，即将“4805”变为“5084”，产生新的个体 X 为(1 3 7 5 0 8 4 9 6 2)。
6.终止条件为循环一定的代数。
2 部分代码
global DISTANCE_M
global POPULATION_N
global POPULATION
global CITIES_POSITION
global STATS
global BEST_PATH
global PLOT_TITLE
global PLOT_SIZE
global PATH_PLOT
global TABLE
CITIES = 10;
PLOT_SIZE = 100;
POPULATION_N = 20;
GENERATIONS = 400;
STATS = cell(POPULATION_N + 3, 5);
% Generate map position of cities and distances
CITIES_POSITION = PLOT_SIZE * rand(2, CITIES);
DISTANCE_M = zeros(CITIES);
for i = 1 : CITIES - 1
position1 = CITIES_POSITION(:, i);
for j = i + 1 : CITIES
position2 = CITIES_POSITION(:, j);
dist = position1 - position2;
distSq = sqrt(dist' * dist);
DISTANCE_M(i, j) = distSq;
DISTANCE_M(j, i) = distSq;
end
end
% Generate initial POPULATION
POPULATION = zeros(POPULATION_N, CITIES);
for i = 1 : POPULATION_N
POPULATION(i,:) = randperm(CITIES, CITIES);
end
% Random initial bestPath
BEST_PATH = POPULATION(randi(CITIES), :);
POPULATION;
plots();
stats();
colTitles = {'Cromosoma', 'Distancia', 'f(x)', 'P_Select', 'EC', 'AC'};
colFormat = { 'char', 'numeric', 'numeric', 'numeric', 'numeric', 'numeric'};
TABLE = uitable(...
'Units', 'normalized',...
'Position', [0, 0, 1.0, 0.5],...
'ColumnName', colTitles,...
'ColumnFormat', colFormat,...
'ColumnWidth', { 400 'auto' 'auto' 'auto' 'auto' 'auto' },...
'Data', STATS);
for i = 1 : GENERATIONS
stats();
parents = reproduction();
POPULATION = mutation(crossover(reproduction()));
% Find best and remove the worst
BEST_PATH = findBest();
% Avoid update plots several times
if mod(i, 50) == 0
pause(0.05);
set(PLOT_TITLE, 'string', {[ 'BEST PATH: ' num2str(BEST_PATH)];...
['DISTANCE = ' num2str(distanceForPath(BEST_PATH))];...
['GENERATION ' num2str(i)]});
set(TABLE, 'Data', STATS);
set(PATH_PLOT,...
'XData', [CITIES_POSITION(1, BEST_PATH) CITIES_POSITION(1, BEST_PATH(1))],...
'YData', [CITIES_POSITION(2, BEST_PATH) CITIES_POSITION(2, BEST_PATH(1))])
end
end
3 仿真结果
4 参考文献
[1]谢胜利, 唐敏, 董金祥. 求解TSP问题的一种改进的遗传算法[J]. 计算机工程与应用, 2002, 38(008):58-60.
[2]文艺, and 潘大志. "用于求解TSP问题的改进遗传算法." 计算机科学 43.0z1(2016):90-92.
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