题目描述

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例

示例1 :

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入： amount = 3, coins = [2]
输出： 0
解释： 只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入： amount = 10, coins = [10] 
输出： 1

提示：

1 <= coins.length <= 300
1 <= coins[i] <= 5000
coins 中的所有值互不相同
0 <= amount <= 5000

思路

这是一道 动态规划 的题。判定一道题使用动态规划的标准是看当前状态是否依赖之前的状态，即问题由许多重复的子问题组成，这道题与昨天的题有类似的地方，就是求的东西不一样，这道题的基本思路是，凑齐某个金额的数字，可以看作凑齐当前金额减去可选面额的金额之和，即在之前的结果一直累加构成当前金额。这道题的子问题判定为是之后有以下几个步骤：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

具体到这道题：

1、dp数组含义：筹齐金额为j纸币有dp[j]种。

2、递推公式：凑齐某个金额j的数字，可以看作凑齐当前金额j减去可选面额 coin[i] 之和即 dp[j]+=dp[j-coins[i]] ;

3 、初始化：按照题目的意思，需要把全部初始化为0，才不会影响累加的结果，并且dp[0]=1。

4、遍历顺序：依赖之前的状态，即从j前往后(小到大)遍历,并且是先纸币，后金额，是因为求的是组合数，所以要讲究顺序，避免重复（如{1，3}，{3，1}），遍历时先纸币，后金额就可以达到这样的目的，因为累加依赖的结果是不重复的。

5、略

代码实现

细节见注释

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历纸币
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历金额
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

总结

简要的介绍了动态规划，动态规划的一般做题步骤等等。