「这是我参与2022首次更文挑战的第22天，活动详情查看：2022首次更文挑战」

“凡治众如治寡，分数是也” —— 《孙子兵法》

分治算法求解（分而治之的策略）

• 分解：大规模问题（原问题） --> 分解 --> 小规模问题（子问题 —— 相同，只是规模较原问题小得多）
• 治理：小规模问题之间是相互独立的，互不干扰
• 合并：小规模问题的解（子问题） --> 合并 --> 大规模问题的解（原问题）

分治策略常用场景

合并排序

• 分治算法的一个典型应用和完美体现
• 平衡 + 简单的二分分治策略
• 步骤
  • 分解：带排序元素 -> 分解 -> 两个子序列（大小大致相同）-> ... -> 分解至 -> 子序列中只有一个元素（单个元素的子序列是有序的）
  • 治理：子序列 -> 合并+排序（递归排序）
  • 合并：子序列 -> 合并 -> 有序序列
• 异地排序（合并操作需要通过辅助合并函数完成）—— 先易后难
• 时间复杂度：O(nlogn)
• 空间复杂度：O(n)
  • 递归占用的栈空间 === 递归树的深度（logn）

快速排序

• 选取基准元素的方法
  • 第一个元素
  • 最后一个元素
  • 中间位置的元素
  • 第一个元素 + 最后一个元素 + 中间位置的元素 => 三者的中位数
  • 随机位置的元素
• 步骤
  • 分解：小于/等于基准元素的子序列 + 基准元素 + 大于基准元素的子序列
  • 治理：对子序列递归快速排序
  • 合并：排序后的子序列进行合并 -> 原问题的解
• 原地排序 —— 先难后易
• 最好情况
  • （n/2）个元素 — + — 基准元素 — + — （n/2）个元素
  • 时间复杂度：O(nlgon)
  • 空间复杂度：O(logn)
• 最坏情况
  • 划分：基准元素 — + — （n-1）个元素
  • 时间复杂度：O(n*n)
  • 空间复杂度：O(n)
• 平均情况
  • 划分：（k-1）个元素 — + — 基准元素 — + — （n-k）个元素
  • 时间复杂度：O(nlogn)
  • 空间复杂度：O(nlogn)
• 优化方案
  • 从右向左找小于基准元素的数 r[j]
  • 从左向右找大于基准元素的数 r[i]
  • 将找到的两个元素交换位置 -> 至 -> i === j
  • 基准元素于较大的元素交换位置

  int point(int r[], int min, int max) { // 优化划分方案
      int i = min, j = max, mid = r[min]; // 找基准元素
      while (i < j) {
          while(i < j && r[j] > mid) j--; // 从右向左
          while(i < j && r[i] < mid) i++; // 从左向右
          if (i < j) swap(r[i++], r[j--]); // 交换位置
      }
      if (r[i] > mid) {
          swap(r[i-1], r[min]); // 交换位置
          return i-1; // 返回新的基准值的位置
      }
      swap(r[i], r[min]); // 交换位置
      return i // 返回新基准元素的位置
  }