前言
最近这段时间在学习计算机组成原理，初见海明校验码，其实现的效果让我十分惊喜，但具体的原理却有些模糊不清，经过一段时间的资料查找和思考，逐渐有了眉目，也产生了一些有趣的思考。这篇博客和大家介绍一下海明校验码以及自己的一些思考。
一、异或运算
在计算机中，数据以及指令都是以二进制的形式储存的，也就是以1和0的形式，在逻辑运算中存在异或运算这一种运算方式。异或也叫半加运算，其运算法则相当于不带进位的二进制加法：二进制下用1表示真，0表示假，则异或的运算法则为：0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0（同为0，异为1）。
二、奇偶校验码
2.1 为什么需要校验码
首先我们聊一聊为什么需要校验码，在数据的传输或者储存过程中，比如说两台计算机之间的通信或者在一台计算机中，将数据储存在磁盘的时候，数据都可能发生跳变。
拿通信来说，接收方只会接受到0和1的序列号，并不知道这是否是真实的数据，因此，我们尝试想一种方法，通过增加一个冗余位 来达到校验的目的。
2.2 奇偶校验码
比如我们有这样一串二进制数字1010，也就是十进制的10，我们计算这4位数字的异或运算结果，即1⊕0⊕1⊕0=0。根据每一串二进制数各个位置异或运算的结果，我们发明了奇偶校验码。
所谓奇校验方式，就是通过在原数据位前面或后面增加一个冗余位，来使得整个校验码异或运算的结果为1，比如1010这一串二进制数，我们可以在前面增加一个1，来使得整个字串最终异或运算的结果为1。
同样的道理，所谓偶校验方式，就是通过在原数据位前面或后面增加一个冗余位，来使得整个校验码异或运算的结果为0，也就是在1010前面增加冗余位0。这样，便构成了奇校验码/偶校验码。
整个校验码中，表示数据的1010称作数据位，而增加的1/0便称为校验位。
因此，如果采用偶校验的方式，只要数据的接收方对校验码进行异或运算，结果为1，说明数据失真，可要求对方重新传输。
2.3 奇偶校验码的不足
聊到现在，大家也很容易看出来奇偶校验码存在的不足。首先，我们只能知道数据是否出现错误，但不能了解到是哪一位出现了错误，无法进行自动的纠正。同时，由于异或运算的特性，当数据有偶数个出现问题的时候，异或运算的结果依旧是正确的。如下图：
三、海明校验码的构建
为了弥补奇偶校验码的不足以及在一定程度上实现纠错功能。Richard Hamming于1950年提出了海明校验码。这也是他1968年入选图灵奖的重要贡献之一。
3.1 十进制转二进制
在正式聊海明码如何构建之前，我们回顾一个老生常谈的问题。把一个十进制数字转换为二进制数字，怎么转。最常见的一个通法是除二取余，逆向排序，如下图所示：
我们通过不断除以2，记录下余数，最后由下向上排列的方式成功地实现了十进制转二进制，当然，这个除r取余，逆向排序是适用于十进制转任何r进制的。但如果这个十进制数字比较小，我们还可以类比8421码的思想。如下图：
从十进制来讲，615的本质是什么？是6×100+1×10+5×1=615，本质是利用了不同位置的权重，8421码的原理也一样，比如27可以分解成16+8+2+1，那么只需要在存在对于权重的位置上写1，其余的写0即可。如下图：
兜兜转转这么多，十进制转二进制的这种“简单法”，其实带给我们一个思考，那就是任何正整数都可以用1，2，4，8，16，32等数字的加和来表示（而且每个数字只需要用一次）。其实也很好理解，毕竟任何正整数都可以用二进制来表示。
3.2 校验位的确定
回顾创建海明码的初衷，我们希望海明码不仅可以指出数据是否出现了错误，还可以精准的找出出现错误的那一位，那么1个校验位肯定是不够的。假如我们由n个数据位，并且添加了k个校验位，那么校验位可以表示2的k次方种状态，一种状态用于表示数据正确，另外还需要n+k种表示有位置出错，并且指出出错的地方，即存在如下的不等关系式：
举个例子，比如n=4，数据位为1010。为了避免空间浪费，我们取不等式成立k的最小值，即k=3。那么这三个校验位应该如何安放，是否和奇偶校验码一样，全部添加在数据位的前端或后端。并不是，海明校验码规定，选区1，2，4，8，16......的位置存放校验码，其余位置依次存放数据码，如下图：
标红的三个位置便是校验位。
3.3 校验值的确定
海明校验码既可以采用奇校验方式。也可以采用偶校验方式。为了便于讲解，我们采用偶校验模式。现在，我们应该去想一个办法，对这7个位置进行分组，从而在偶校验的标准下确定校验位的数字。回想前面十进制转二进制的讨论，再联想我们把校验位都放在1.2.4.8.16......这些特殊的位置上，你可能就明白以下用于分组的规则了。
首先，一共有7位，我们把1-7全部分解开，如下图右侧：
接着，我们按照组成数有“1”的，有“2”的，有“3”的，将他们分别分成3组，并且根据偶校验的规则，计算出一位校验码，如下图：
这样便完成了整个海明校验码的构建。
四、海明校验码的纠错能力
依然以上述校验码为例，现在为1010010，我们对上述分成的“1”，“2”，“4”三组分别进行异或运算结果都为0，当然这也很好理解，毕竟每一组中的校验位都是根据偶校验的规则选定的。假定在数据传输过程中，第三位发生了跳变，由0变成了1，会引起三组异或运算怎样的变化？如下图：
而我们将变换后的运算结果，依照他们的权重组合成一串二进制数，发现是011，翻译成十进制，刚好为3，也就是发生跳变的位置：第三位，这是巧合吗？我们再来看一个例子，如下图：
第七位发生跳变，异或运算的结果为111，翻译成十进制为7，刚好对应。这就是海明校验码神奇的地方，只有一个数字跳变的情况下，它可以实现自动纠错。
五、海明校验码的纠错原理
见证了实例之后，我们细品一下，海明校验码是如何实现这一功能的。
5.1 权重理解法
大家首先回忆一下我们前面提到的十进制转二进制的“简单法”，任何一个正整数都可以拆分成1，2，4，8，16......数字的加和，且每个数字只需要使用1次或者0次，而我们校验位又恰巧分布在1，2，4......这些位置上，所以每个位序号的构成本质都有1，2，4......的参与，只不过有的权重是0，有的权重是1，这就导致了后续，某一个位置发生跳动，会影响权重为1的分组，比如说3这个位序号，“1”的参与权重是1，“2”的参与权重是1，而“4”的参与权重为0，所以当3位置上的数字失真时候，“1”组，“2”组的异或运算值一定会变化为1，“4”组的异或运算值却依旧为0，这也反过来证明了，1，2一定是出现问题数字的加数之一，要不它所在的组异或运算结果怎么会发生变化。
5.2 布尔运算理解法
一定程度上，大家也可以借助布尔运算来理解。如下图：
依旧拿位置3来举例，“1”组异或运算变成1，说明位置1，3，5，7其中一个出现问题，“2”组异或运算结果变成1，从而说明只有位置3和7存在嫌疑，但是“4”组的异或结果依旧为0，所以排除7，那么便是3出现问题。大家可以对照下面这张图来进行理解：
以上便是我分享的全部内容。如果发现某些地方表述的不太恰当，欢迎补充留言，我会积极地进行修改。
