题目描述

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例

示例1 :

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2：

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

2 <= n <= 58

思路

这是一道 动态规划 的题。判定一道题使用动态规划的标准是看当前状态是否依赖之前的状态，即问题由许多重复的子问题组成，一个数可以看成多个数字相乘而成，在进行下一个数时，可以借助之前的拆分结果。这道题的子问题判定为是之后有以下几个步骤：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

具体到这道题：

1、dp数组含义：拆分和为i的最大乘积为dp[i]。

2、递推公式：可以将i拆分为两数:j和i-j，乘积为j*(i-j),也可以在拆出j后,对i-j再进行拆分，那么乘积就是j*dp[i-j] 其中的dp[i-j]即为拆分和为i-j的最大乘积,通过不断的尝试拆j,取最大值，即dp[i]=max(j*(i-j),j*dp[i-j]) ;

3 、初始化：按照题目的意思，i<2时。不需要初始化，那么需要初始化第一个值dp[2]=1。

4、遍历顺序：依赖之前的状态，即从前往后遍历。

5、 0,0,1,2,4,6....(dp[0],dp[1]无意义)

代码实现

细节见注释

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
    vector<int> dp(n+1);
    dp[2]=1;     //初始化
    for(int i=3;i<=n;++i){     //从3开始
        for(int j=1;j<i-1;++j){         //从1开始拆，拆至i-j==2,因为i-j<2时，i-j不可拆
            dp[i]=max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));  //递推公式
        }
    }
    return dp[n];
    }
};

总结

简要的介绍了动态规划，动态规划的一般做题步骤等等。