题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例

示例1 :

输入： m = 3, n = 7
输出： 28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

思路

这是一道动态规划的题。判定一道题使用动态规划的标准是看当前状态是否依赖之前的状态，即问题由许多重复的子问题组成，在这道题里面，子问题就是到达某一格的次数是上一个和左一个的次数之和。之后按照几个步骤，复习一下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

具体到这道题：

1、dp数组含义：dp[i][j] 表示 到达下标为i,j的二位数组有dp[i][j]种方法

2、递推公式：到达当前一个，可以从上面一个来，也可以从左面一个来，所以 dp[i][j]=dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

3、初始化：当i=0时，上面没有元素，所以dp[0][j]需要初始化为1,当j=0时，左面没有元素，所以dp[i][0]需要初始化为1,即左上的边界都为1。

4、遍历顺序：由递推公式： dp[i][j]=dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，可以推出i 从左到右，j从下到上。

5、省略

代码实现

以下给出不压缩的写法。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0)); //一开始全为0
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;    //初始化
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];     //递推公式
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

由于只依赖上一个和左边一个的状态，所以可以压缩

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> dp(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1;
        
        //可以直接
        //vector<int> dp(n,1);       
        //直接完成初始化
        
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                dp[i] += dp[i - 1];
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

总结

简要的复习了动态规划，动态规划的一般做题步骤，dp数组等等。