688. 骑士在棋盘上的概率

leetcode原题链接：leetcode-cn.com/problems/kn…
难度：中等
方法：dfs、动态规划

题目

在一个 n x n 的国际象棋棋盘上，一个骑士从单元格 (row, column) 开始，并尝试进行 k 次移动。行和列是从 0 开始的，所以左上单元格是 (0,0) ，右下单元格是 (n - 1, n - 1) 。
象棋骑士有8种可能的走法，如下图所示。每次移动在基本方向上是两个单元格，然后在正交方向上是一个单元格。
每次骑士要移动时，它都会随机从8种可能的移动中选择一种(即使棋子会离开棋盘)，然后移动到那里。
骑士继续移动，直到它走了 k 步或离开了棋盘。
返回骑士在棋盘停止移动后仍留在棋盘上的概率。

示例

示例1

输入: n = 3, k = 2, row = 0, column = 0
输出: 0.0625
解释: 有两步(到(1,2)，(2,1))可以让骑士留在棋盘上。
在每一个位置上，也有两种移动可以让骑士留在棋盘上。
骑士留在棋盘上的总概率是0.0625。

示例2

输入: n = 1, k = 0, row = 0, column = 0
输出: 1.00000

提示

1 <= n <= 25
0 <= k <= 100
0 <= row, column <= n

总结与拓展

dfs(每次都存在返回值情况，非全局变量)

非全局变量需要注意点：每一层dfs遍历完成后记得返回return，此时不仅仅只在终止条件的地方进行返回return。
（非全局变量）同类型dfs题目1706.球会落何处非常巧妙的练习题，巩固dfs，加深印象
- 球不能落到下一层的几种情况：
  1. 两个夹角，无法进入到下一层
  2. 贴左边/右边的墙也无法进入下一层

解法

根据题目可知，骑士可以走的路有8条，直到其走了k步或者离开了棋盘。计算骑士仍然留在棋盘上的概率。
分析：对于骑士走的每一步都需要遍历8个方向，为了便于后续对骑士移动的位置进行处理，将8种情况的x和y的变量分别存储到两个数组中，如下：
- let dx = [-2,-2,-1,1,2,2,-1,1];
- let dy = [-1,1,2,2,-1,1,-2,-2];
此时已经解决了骑士走8个方式会到达的位置的单元格下标，那么就需要根据题目所给的k步，来判断骑士当前的状态，是存在单元格上还是已经跳出棋盘。
将k作为在dfs函数的参数进行传递，这样就可以在每深入一层的时候，k--，直到k == 0那么表示已经递到最深层，可以往回返回了。
那么还差一个？如何计算停留在棋盘上的概率呢？
- 令递到最深处的点的概率为1，往上返回一次，则将其值* 1 / 8。
- 每个节点停留在棋盘上的概率，就等于：其能够递归下去的一层的子节点停留在棋盘上的概率之和。
剪枝操作
- 递归的剪枝，通常都是将已经遍历过的节点获取到的概率值，存储下来，再下次进行遍历的时候，直接取出来返回即可。优化了相同节点的递归操作。

/**
 * @param {number} n
 * @param {number} k
 * @param {number} row
 * @param {number} column
 * @return {number}
 */
var knightProbability = function(n, k, row, column) {
  // 记录每个点的概率是必须的，避免走重复的路，优化
  // 8个方向，数组，判断是否出棋盘，没有出棋盘的，给当前还在棋盘上的总数++
  // 不需要判断是否走过，只需要取当前的概率进行相乘即可
  // 栈中添加，没有走出棋盘的位置，进行下一次的搜索
  if(k == 0) return 1;
  // 优化放在最后再写
  // let step = new Array(n);
  // for(let i = 0; i < n; i++) {
  //   step[i] = new Array(n).fill(1);
  // }
  // 声明三位数组
  let ans = new Array(n);
  for(let i = 0; i < n; i++) {
    ans[i] = new Array(n);
  }
  for(let i = 0; i < n; i++){
    for(let j = 0; j < n; j++){
      ans[i][j] = new Array(101).fill(0);
    }
  }
  // console.log('lal',ans[0][0][2]);
  // 问题：怎么知道最终的总概率呢？ K
  // let stack = [[row, column]];
  let dx = [-2,-2,-1,1,2,2,-1,1];
  let dy = [-1,1,2,2,-1,1,-2,-2];
  function dfs(x,y,step) {
    // 当需要走的步数为0时，表示已经到最后的位置
    if(step == 0) return 1;
    if(ans[x][y][step] != 0) return ans[x][y][step];
    // 当前已经遍历过的就不要再遍历了
    // if(ans[x][y][step]){
    //   return ans[x][y][step];
    // }
    for(let i = 0; i < 8; i++){
      // 遍历当前节点的8个方向
      let ndx = x + dx[i];
      let ndy = y + dy[i];
      // 判断当前的数是否合理
      if(ndx >= 0 && ndx < n && ndy >= 0 && ndy < n){
        ans[x][y][step] += (0.125 * dfs(ndx,ndy,step - 1));
        // console.log(x,y,step,'对应',ans[x][y][step]);
      }
    }
    return ans[x][y][step];
    // console.log(ans[x][y][step]);
  }
  // dfs来进行计算概率
  dfs(row, column,k);
  return ans[row][column][k];
};

688. 骑士在棋盘上的概率(dfs)

688. 骑士在棋盘上的概率

题目

示例

提示

总结与拓展

dfs(每次都存在返回值情况，非全局变量)

解法