小序
先来讲个密码学历史故事
自从密码学诞生的那一天起，人们就面对着一个悖论。加密是为了安全地传递信息，但为了让接受者解开加密的信息，你又需要把密钥给他，那这个密钥又该怎么传递呢？如果不加密传递给他的话，有被截获的风险。但如果加密发送的话，接受者还没有密钥，又怎么能解开呢？这就变成了一个鸡生蛋、蛋生鸡的问题。
如果用形象一点的例子来说明的话，相当于A要向B传递一封信，但他不信任邮差，所以他把信放在一个箱子里锁起来，再让邮差把箱子送给B。但B收到箱子也是没有用的，因为他没有钥匙。那么这把钥匙要怎么送给B呢？直接让邮差送是不行的，因为邮差可能会打开箱子看信里的内容。那把第一个箱子的钥匙放进第二个箱子再锁起来呢？这样也不行，因为B也没有第二个箱子的钥匙。这样就陷入了一个死循环。
后来，有人想到了一个办法：A先把信放到箱子里后上一把锁，然后让邮差把箱子送给B。B在接到箱子后不打开，而是再上一把锁，这样箱子上就有两把锁了。B再让邮差把箱子送回给A，然后A把箱子上自己那把锁打开，让邮差再把箱子送回给B。这时箱子上只有B的一把锁了，B用自己的钥匙把箱子打开就可以了。这个过程中，邮差接触不到任何一把钥匙。
这种方法用箱子和锁来操作虽然行得通，但计算机算法却很难实现。因为一份数据先后经过了A算法加密、B算法加密，却要先用A的密钥来解密。而且同样的数据要来来回回发送三次，严重降低了通信效率。
1977年，三位科学家Rivest、Shamir、Adleman共同发明了一种神奇的算法，彻底解决了这个问题。
在这种算法中有公钥和私钥两种密钥，其中公钥可以公布给全世界的人知道，人们可以用公钥给数据加密。而只有拥有对应私钥的人才能对加密后的数据进行解密。这样人们就避免了密钥传递的问题。
如果用前面锁和箱子的例子来比喻的话，就相当于B制造了无数的处于开启状态的锁，并把这些锁丢在一个公共的广场上，同时B手里掌握着能打开这些锁的唯一的钥匙。如果有人要向B写一封信，他就把信放进到箱子里，然后从广场上捡一把锁回来把箱子锁上。接下来，他让邮差把这个箱子送到B那里去，B再用手里的钥匙把箱子打开。整个过程中，邮差都没有接触过钥匙。 就这样，划时代的非对称式加密算法诞生了。人们用三名科学家姓氏的首字母来命名这种算法：RSA算法。
定义
对称加密算法在加密和解密时使用的是同一个秘钥；而非对称加密算法需要两个密钥来进行加密和解密，这两个密钥是公开密钥（public key，简称公钥）和私有密钥（private key，简称私钥）。
与对称加密算法不同，非对称加密算法需要两个密钥：公开密钥（publickey）和私有密钥（privatekey）。公开密钥与私有密钥是一对，如果用公开密钥对数据进行加密，只有用对应的私有密钥才能解密；如果用私有密钥对数据进行加密，那么只有用对应的公开密钥才能解密。因为加密和解密使用的是两个不同的密钥，所以这种算法叫作非对称加密算法。
非对称加密优缺点
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优点：安全性更高，公钥是公开的，秘钥是自己保存的，不需要将私钥给别人。
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缺点：加密和解密花费时间长、速度慢，只适合对少量数据进行加密。
RSA算法
RSA算法是现今使用最广泛的非对称加密算法，也是号称地球上最安全的加密算法。
生成密钥对
1.接收方随机选择两个不相等的质数p和q 例如，选择61和53（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
2.计算p和q的乘积n
n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是110010100001，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
3.计算n的欧拉函数φ(n)
φ(n) = （p-1）（q-1）
算出φ(3233)等于60×52，即3120
4.随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537）
5.计算e对于φ(n)的模反元素d
所谓"模反元素"就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于 ed - 1 = kφ(n)，即ed + φ(n)k = 1,即17d+3120k = 1
这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (d,k)=(2753,-15)，即 d=2753。
6.将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
上面计算可知n=3233,e=17,d=2753
所以公钥就是（n,e）= (3233,17)，私钥就是(n,d)=（3233, 2753）
RSA算法的可靠性
回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：
p,q,n,φ(n),e,d
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道
"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"
加密和解密
假如一个人要向另外一个人发送加密信息m（m < n）,则用上述的公钥（n，e）对m加密
所谓"加密"，就是算出下式的c： me ≡ c (mod n)
上述公钥是 (3233, 17)，加密信息m假设是65，
则me ≡ c (mod n)即是 6517 ≡ 2790 (mod 3233)，c等于2790，所以加密后的数字就是2790，把这个加密数字传输出去。
拿到2790这个加密后的数据，就可以用自己的私钥（3233，2753）解密
可以证明以下等式一定成立 cd ≡ m (mod n) ，这里不细说
c为2790.则可以计算出 27902753 ≡ 65 (mod 3233)，因此可以计算得加密前的数字为m=65
至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
总结
以上 RSA 算法的工作原理了。宏观上的思路就是，要找到一个包含取模运算的单向函数，保证信息加密容易，而反向解密很难。另外，还要找到第二个单向函数，也就是整数分解问题的函数，保证在知道分解结果的条件下，从公钥算出私钥是容易的，而如果不知道，就不可能算出私钥。真正的 RSA 算法，是这两个单向函数的综合使用。但是对于如何进行解密，公钥和私钥生成的细节，我们没有展开，因为这涉及到更多的数学推导。
