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题目

688. 骑士在棋盘上的概率 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

解析

停止移动后仍在棋盘上的概率，其实可以换个思路：

求至多K步后，走出棋盘的概率。

这里我们由题目可知：

每一次的移动，都是完全随机的。也就是说，每种走法的概率都是1/8。

那么，走出棋盘的情况，就是走到单元格外面了。

一种“想当然的”思路是：

求出所有可能走出棋盘的情况数，和所有的情况数相除。

这种思路是不正确的。

假设在第一步有7种走法走出棋盘，那么，这个走出的概率就至少是7/8，和上面的情况实际上是不符合的。

原因是：每一步对于最终结果的权重，都是不同的。

为每一步加上权重(1/8)。如果当前格子已在棋盘之外，那么对于这一步必然是100%的概率，因此返回1；反之，如果当前走了K步，则返回0。

对于都不在上述情况中的，为每一步加上1/8的权重，递归求取。

得到以下代码：

static int[][] dirs = {{1,2},{2,1},{1,-2},{2,-1},{-1,-2},{-2,-1},{-1,2},{-2,1}};


public double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
    if(row<0 || row>n-1 || column<0 || column>n-1){
        return 0;
    }

    if(k == 0){
        return 1;
    }
    double cur = 0;
    for (int[] dir : dirs) {
        double nxt = knightProbability(n,k-1,row+dir[0],column+dir[1]);
        cur += nxt/8;
    }
    return cur;
}

结果：超时

对于这种DFS的题目，一般来说的优化方式就是记录来方便后续相同的计算不再进行。

对于这个题目，实际上的状态包括：

当前步数K
当前位置row，column。

注意到这里的棋盘是N*N的并且8种走法是对称的，因此对于(k,r,c)和(k,c,r)，概率是相同的。

那么此时加上一个三维数组，做一下优化：

double[][][] m = null;

 public double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
        if(m == null){
            m = new double[k+1][n][n];
        }
        //对称性
        if(m[k][row][column]!=0) return m[k][row][column];
        if(m[k][column][row]!=0) return m[k][column][row];
        //...
        //更新
        m[k][row][column] = cur;
     	return cur;
        }

结果：

执行用时：3 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00%的用户

内存消耗：40.7 MB, 在所有 Java 提交中击败了31.52%的用户

有了这个数组，那么试一试用迭代而非递归，来节省栈(因为这里的k,row,column就记录了所需要的结果)，也可以同样地使用对称的性质来节约一般的空间，此处不再给出代码。

[LC]骑士在棋盘上的概率

题目

解析