【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示

2022-02-18 375 阅读3分钟

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前言

Hello！小伙伴！非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰标签：程序猿｜C++选手｜学生简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！机器学习小白阶段文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习知其然知其所以然！

系列文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（1）：图的基本概念

1.3 图的矩阵表示

1.3.1 邻接矩阵

无向图的邻接矩阵

设 $G=(V,E)$ 是一个无向图， $V=\{\nu_1,\nu_2,...,\nu_n\}$ ，则 $G$ 的邻接矩阵 $A=(a_{ij})_{n×n}$ ，其中

m，若\nu_i 与 \nu_j 有m条边连接\\ 0，\nu_i 与 \nu_j不相邻 \end{cases}

注：环算两次

举例

当图是简单图时（无环无重边）在这里插入图片描述当图含有环时

小结

无向图的邻接矩阵是一个对称方阵
无向图的邻接矩阵中每一行或每一列元素之和是对应顶点的次数
如果该无向图是简单图，那么其邻接矩阵是一个对称(0,1)矩阵，且对角线元素全为0

有向图的邻接矩阵

设 $D=(V,E)$ 是一个有向图， $V=\{\nu_1,\nu_2,...,\nu_n \}$ ，则 $D$ 的邻接矩阵 $A=(a_{ij})_{n×n}$ ，其中 $a_{ij}=m$ ，意思是 $\nu_i$ 指向 $v_j$ 的弧有 $m$ 条， $m$ 可以为0

有向图的邻接矩阵不一定对称，第 $i$ 行的元素之和为 $\nu_i$ 的出次，第 $j$ 列的元素之和为 $\nu_j$ 的入次

举例

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小结

图与邻接矩阵一一对应

有图即可画出其邻接矩阵
有邻居矩阵即可画出相应的图

加权有向图的带权邻接矩阵

若为有向图 $D=(V,E)$ 的每条边赋予一个数，则称 $D$ 为加权有向图

设 $D=(V,E)$ 是一个简单加权有向图， $V=\{\nu_1,\nu_2,...,\nu_n\}$ ，则 $D$ 的邻接矩阵 $A=(a_{ij})_{n×n}$ ，其中

w_{ij}，若(\nu_i,\nu_j)\in E且w_{ij}是它的权\\ 0，若i == j\\ \infty，若(\nu_i,\nu_j)\notin E \end{cases}

举例在这里插入图片描述

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加权无向图的带权邻接矩阵类似，但为对称阵

1.3.2 关联矩阵

无向图的关联矩阵

设 $G=(V,E)$ 是一个无向图， $V=\{\nu_1,\nu_2,....,\nu_n\}$ ， $E=\{e_1,e_2,...,e_m\}$ ，则 $G$ 的关联矩阵 $M=(m_{ij})_{n×m}$ ，其中

2，若e_j 是\nu_i 上的环\\ 1 ， 若\nu_i 与 e_j 相关联\\ 0，若\nu_i 与 e_j 不相关联 \end{cases}

无向图的关联矩阵每一列的元素之和为2，且第 $i$ 行的元素之和是 $\nu_i$ 的次数

简单图的关联矩阵是(0,1)矩阵

举例在这里插入图片描述

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有向图的关联矩阵

设 $G=(V,E)$ 是一个有向无环向图， $V=\{\nu_1,\nu_2,....,\nu_n\}$ ， $E=\{e_1,e_2,...,e_m\}$ ，则 $G$ 的关联矩阵 $M=(m_{ij})_{n×m}$ ，其中

1，若\nu_i 是e_j的起点\\ -1 ， 若\nu_i 是e_j的终点\\ 0，其他 \end{cases}

有向图的关联矩阵每一列之和为零；每一行“1”的数目是对应顶点的出次，“-1”的数目是对应顶点的入次；完全为“0”的行对应的顶点是孤立点

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1.3.3 边矩阵

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结语

说明：

参考于课本《图论》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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