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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

1.2 基本概念

1.2.1 图

定义1.1 ：图的定义

有序三元组$G=(V,E,\psi)$称为一个图，其中

• $V=\{v_1,v_2,...,v_n\}$是有穷非空集，称为顶点集，用$|V|$表示顶点数
• $E=\{e_1,e_2,...,e_m \}$称为边集，有穷集合（可以为空集），其中的元素叫边，用$|E|$表示边数
• $\psi$是从边集$E$到顶点集$V$中的有序或无序的元素偶对的集合的映射，称为关联函数

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举例：设图$G=(V,E,\psi)$，其图解如下

则有：

• 图的定义：$G=(V,E,\psi)$
• 图的顶点集：$V=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$
• 图的边集：$E=(e_1,e_2,e_3,e_4,e_5)$
• 图的关联函数：
  • $\psi(e_1)=v_1v_2$
  • $\psi(e_2)=v_1v_3$
  • ....

定义1.2

有向边/无向边

• 在图$G=(V,E)$中，与$V$中的有序对应的边$e(\psi(e)=(v_1,v_2))$，称为图G的有向边或弧
• 而与$V$中的顶点的无序偶$v_iv_j$相对应的边$e$称为图$G$的无向边

有向图/无向图/混合图

• 每一条边都是无向边的图，称为无向图
• 每一条边都是有向边的图称为有向图
• 一些边是无向边，一些边是有向边的图称为混合图

补充

（1）若$\psi(e)=uv$，称e与顶点$u,v$相关联

（2）若$\psi(e)=uv$，称顶点$u$与$v$相邻

（3）与同一顶点相关联的两边称为相邻边

（4）两端点重合的边称为环

（5）端点完全相同的两边称为重边

（6）既无环又无重边的图，称为简单图

（7）任意两个顶点相邻的简单图，称为完备图（或完全图），记为$K_n$，其中$n$为顶点的数目

简单的说，完全图（或完备图）就是任意两个顶点直接都有一条边相连的简单图

（8）若$V=X\cup Y,X\cap Y=\varnothing$，$X$中任意两个顶点不相邻，$Y$中任意两个顶点也不相邻，称$G$为二部图；若$X$中的每一顶点皆与$Y$中一切顶点相邻时，$G$称为完备二部图，记为$K_{m,n}$，其中$m,n$分别为$X、Y$的顶点数目

二部图示例： 完备二部图示例：（注意是一个顶点与另一部分中所有顶点都需要相连）

（9）顶点集和边集都有限的图称为有限图

（10）只有一个顶点的图称为平凡图

（11）边集为空的图称为空图

（12）顶点数为n的图称为n阶图

（13）顶点数为n,边数为m的图称为 (n, m) 图

（14）连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数

（15）重数大于1的边称为重边

（16）端点重合为一点的边称为环

定义1.3 ：子图

设图 $G=(V,E,\psi)$ 和 $G_1=(V_1,E_1,\psi_1)$

若$V_1\subseteq V,E_1\subseteq E$，且当$e \in E_1$时，$\psi_1(e)=\psi(e)$

则称为$G_1$是$G$的子图

特别的，若$V_1=V$，则称$G_1$为$G$的生成子图

定义1.4：顶点导出子图

设$V_1\subseteq V$，且$V_1 \neq \varnothing$

以$V_1$为顶点集，两个端点都在$V_1$中的边为边集的$G$的子图

称为$G$的由顶点集$V_1$导出的子图，记为$G[V_1]$

定义1.5：边导出子图

设$E_1\subseteq V$，且$E_1$为边集

$E_1$的端点集为顶点集的图$G$的子图

称为$G$的由$E_1$边集导出的子图，记为$G[E_1]$

1.2.2 顶点的次数（或度）

在无向图中，与顶点$v$关联的边的数目称为$v$的次数或度（环算两次），记为$d(v)$

分别用$\delta(G),\Delta(G)$表示无向图$G$的最小次数和最大次数，即

在有向图中，从$v$引出的边的数目称为$v$的出次，记为$d^+(v)$，从$v$引入的边的数目称为$v$的入次，记为$d^-(v)$。$d^+(v)+d^-(v)=d(v)$称为$v$的次数

其中

• $\delta^+(D)$：最小出次
• $\delta^-(D)$：最小入次
• $\Delta^+(D)$：最大出次
• $\Delta^+(D)$：最大入次

同时，规定使用记号$\nu(G),\epsilon(G)$分别表示图的 顶点的数目 和 边的数目

• $\nu(G)$：顶点的数目
• $\epsilon(G)$：边的数目

设$G=(V,E)$为简单图，如果对所有$\nu\in V$，有$d(\nu)=k$，则称图$G$为$k-正则图$

简单理解： 若是2-正则图，则说明每个顶点的次数（度）都是2 若是3-正则图，则说明每个顶点的次数（度）都是3....

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举例

定理1.1：握手定理

图$G= (V, E)$中所有顶点的次数（或度）的和等于边数的2倍，即

$\sum_{\nu \in V(G)}d(\nu)=2\epsilon(G)$

推论1.1

任何图中，奇次顶点的总数必定为偶数

推论1.2

正则图的阶数和顶点数不同时为奇数

若阶数和顶点数都是奇数，那么总的次数就是：奇数乘奇数，结果是奇数，但是总次数一定是偶数（总次数：边数乘为2），所以阶数和顶点数不可以同时为奇数

1.2.3 同构

定义1.6：图的同构

设有两个无向图$G$和$H$，若顶点集之间存在一一对应关系，且对应顶点之间的边也有一一对应的关系，则称为图$G$和$H$同构，记作$G\cong H$

对于有向图的同构，对应边的方向也要求相同

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举例：

下面$G_1，G_2,G_3$是同构的

$D_1,D_2$也是同构的

图的同构有如下必要条件：

• 两图的顶点数、边数相等
• 关联边数相同的顶点个数相等（次数相同的顶点个数相同）

不满足上面两个条件，两个图一定不同构；满足上面两个条件，则也不一定是同构的

1.2.4 图运算

删点运算

设$V^{'}\subseteq V(G)$，在$G$中删去$V^{'}$中的顶点和$G$中与之关联的所有边的操作，称为删点运算，记为$G-V^{'}$

特别地，如果只删去一个点$v$，则记为$G-v$ 删点后得到的图是原图的子图

删边运算

设$E^{'} \subseteq E(G)$，在$G$中删去$E^{'}$中的所有边的操作，称为删边运算，记为$G-E^{'}$

特别地，如果只删去一条边$e$，则记为$G - e$ 删边后得到的图是原图的子图

并运算

设$G_1,G_2$是$G$的两个子图，$G_1$与$G_2$并是指由$V(G_1)\cup V(G_2)$为顶点集，以$E(G_1)\cup E(G_2)$为边集组成的子图，记为$G_1 \cup G_2$

特别地，如果$G_1,G_2$不相交（没有公共顶点），称它们的并为直接并，记为$G_1+G_2$

交运算

设$G_1,G_2$是$G$的两个子图，$G_1$与$G_2$交是指由$V(G_1)\cap V(G_2)$为顶点集，以$E(G_1) \cap E(G_2)$为边集组成的子图，记为：$G_1 \cap G_2$

差运算

设$G_1,G_2$是两个图，$G_1$与$G_2$的差是指从$G_1$中删去$G_2$中的边得到的新图，记为$G_1-G_2$

对称差运算(或环和运算)

设$G_1,G_2$是两个图，$G_1$与$G_2$的对称差定义为：

$G_1 \Delta G_2 = (G_1 \cup G_2) - (G_1 \cap G_2)$

结语

说明：

• 参考于 课本《图论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正