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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

1.1 集合与映射

平凡子集合

一个集合的空集($\phi$)和它自身称为这个集合的平凡子集合

除了平凡子集合外，其他子集称为真子集

和集

集合 $A$ 和集合 $B$，$A+B$ 即为集合$A$和$B$的和集，有

$A+B=\{ a + b ｜a \in A, b \in B \}$

例如: $A = \{ 1, 2, 3 \} \quad B = \{ 2, 3, 4 \}$ 则：$A + B = \{ 1, 2, 3 \} + \{ 2, 3, 4 \} = \{ 3, 4, 5, 6, 7 \}$

映射

设$X$与$Y$是两个集合，$X$到$Y$的映射（或映照）是指一个法则（规则）$\sigma$

$\sigma$使得$X$中的每一个元素$x$都有$Y$中惟一确定的元素$y$与之对应，记为

$\sigma:X \rightarrow Y \quad \sigma(x) = y \quad或 \quad x \rightarrow y(=\sigma(x))$

$y$称为$x$在映射$\sigma$下的像，$x$称为$y$在映射$\sigma$下的源像（像源）

映射可以分为：

• 满射
• 单射
• 一一映射

满射

设$\sigma$是$X$到$Y$的一个映射，若对$Y$中每一个元$y$，都有$X$中对元$x$与之对应，即$\sigma(x) = y$，称为$\sigma$是满映射（满射）

每一个$y$必定有一个$x$与之对应

单射

设$\sigma$是$X$到$Y$的一个映射，若对任意的$x_1,x_2 \in X$，当$x_1 \neq x_2$时，有$\sigma(x_1) \neq \sigma(x_2)$，称$\sigma$是单映射（单射）

一个$x$只与一个$y$对应

一一映射

若$\sigma$既是单射又是满射，则称$\sigma$是一一映射

举例

例 - 1

$A$是数域$K$上全体 $n$阶方阵的集合，定义

$\sigma_1(X) = det X, X \in A$

则有

$\sigma_1: A \rightarrow K$

即$\sigma_1$是$A$到$K$的一个映射

det 用于求一个方阵的行列式 比如 $A = \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{vmatrix}$ det A = 1*4 - 2 * 3 = 4 - 6 = -2   这道题可以理解为 输入一个X 其中$X \in A$ 经过det运算($\sigma_(X)$) 得到一个数值 该数值属于数域K 所以映射关系为 $\sigma_1: A \rightarrow K$   箭头左边可以理解为 输入一个值所属于的一个集合（或数域） 箭头右边可以理解为 输出结果所属的一个集合或数域

例 - 2

如果定义

$\sigma_2 = k E, k \in K$

$E$是$n$阶单位矩阵，则映射关系为

$\sigma_2:K \rightarrow A$

$E$是恒定不变的 每次输入/改变的其实是$k$值 因为$k \in K$ 所以箭头左边为$K$ 通过运算$kE$后，得到一个$n$阶矩阵 ，对角线为$k$，也还是属于$A$ 所以箭头右边为A

例 - 3

令$P_n$表示所有次数不超过$n$的实系数多项式集合，定义 $\sigma(f(t)) = f^{'}(t) \quad f(t) \in P_n$

其中，$\sigma$是$P_n$到$P_{n-1}$的一个映射

$P_n$的意思其实就是一个多项式中，最高次不超过$n$ $\sigma$运算本质就是对其进行求一次导 那么最高次不超过$n$次的多项式 求导后 最高次一定不超过$n-1$次 所以 $\sigma(f(t)) = f^{'}(t) \quad f(t) \in P_n$ 最后的结果就是 $P_{n-1}$ 故映射关系就是 $P_n \rightarrow P_{n-1}$

结语

说明：

• 参考于 课本《矩阵理论及其应用》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正