认识异或运算1、认识异或运算的威力 2、异或的特性：无进位相加 3、提取左右侧的1 4、0^N = N，N ^ N =

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一、认识异或运算

^ 相同为0，不同为1：可以理解为无进位相加

异或的特性：

0 ^ N = N
N ^ N = 0
满足交换律（a^b = b^a）和结合律（(a^b)^c) = a^(b^c)）

异或运算.png

偶数个1相加一定为0，奇数个1相加一定为1

二、异或运算练习

如何不用额外变量交换两个数
```
a = a ^ b
b = a ^ b
c = a ^ b
```
一个数组中有一种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到并打印这种数
- 利用哈希表，每一种数做词频统计，看哪种数出现了奇数次，需要额外的空间复杂度
- 利用异或运算，遍历一遍，只需要一个有限的变量就能找到哪种数出现了奇数次
```
// arr中，只有一种数，出现奇数次
public static void printOddTimesNum1(int[] arr) {
    int eor = 0;
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        eor ^= arr[i];
    }
    System.out.println(eor);
}
```
怎么把一个int类型的数，提取出最右侧的1来

a & (~a + 1) = a & (-a)

a &（取反 + 1）等于 a & 相反数

取反加1就是自己的相反数
```
a & (~a + 1) = a & (-a)
```
一个数组中有一种数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，怎么找到并打印这种数

分析：假设a、b这两种数出现了奇数次，则a≠b，从头到尾遍历一遍进行异或，则eor = a^b，因为a不等于b，则eor一定不等于0，说明eor在某个位置上一定有1的状态，找哪个1位置呢，哪个位置都行，那就提取最右侧的1，假设在某个位置上是最右侧的1，说明a，b在这个位置上一定是不一样的，因为一样的话，异或则为0。假设a最右侧位置上有1，b则最右侧位置上为0，怎么把a和b分开，rightOne :00000000000001000，依次判断每个数&rightOne，不等于0，则说明这个位置上有1，又因为偶数异或为0，所以左右就找到其中一个奇数，那么另外一个奇数则再异或下。
```
// arr中，有两种数，出现奇数次
public static void printOddTimesNum2(int[] arr) {
    int eor = 0;
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        eor ^= arr[i];
    }
    // a 和 b是两种数
    // eor != 0
    // eor最右侧的1，提取出来
    // eor :     00110010110111000
    // rightOne :00000000000001000
    int rightOne = eor & (-eor); // 提取出最右的1
    int onlyOne = 0; // eor'
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        //  arr[1] =  111100011110000
        // rightOne=  000000000010000
        if ((arr[i] & rightOne) != 0) {
            onlyOne ^= arr[i];
        }
    }
    System.out.println(onlyOne + " " + (eor ^ onlyOne));
}
```

一个数组中有一种数出现K次，其他数都出现了M次，M > 1, K < M，找到出现了K次的数，要求额外空间复杂度O(1)，时间复杂度O(N)

分析：额外空间复杂度O(1)，堵死了哈希表，可以利用长度为32的int数组，所有的数换算成二进制，所有数字二进制上的每个位置上的1全累加到数组中，

// 请保证arr中，只有一种数出现了K次，其他数都出现了M次
public static int onlyKTimes(int[] arr, int k, int m) {
    int[] t = new int[32]; // 额外空间复杂度O(1)
    // t[0] 0位置上的1出现了几个
    // t[i] i位置上的1出现了几个
    for (int num : arr) { // O(N)
        for (int i = 0; i <= 31; i++) { // 固定次数
            t[i] += (num >> i) & 1;
            // if (((num >> i) & 1) != 0) {
            //     t[i]++;
            // }
        }
    }
    int ans = 0; // 干干净净，往上填答案，构建答案
    for (int i = 0; i < 32; i++) { // 固定次数
        if (t[i] % m != 0) { // 说明k在i位上，有1
            ans |= (1 << i);
        }
    }
    return ans;
}

三、总结

异或也称为无进位相加

0 ^ N = N

N ^ N = 0

提取最右侧的1：a ^ (-a)