01背包问题

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问题概述

01背包问题作为背包问题的一个分支，其难度是比较小的，也是容易被人理解的。01背包问题跟其他背包问题的区分点在于，在每件物品最多取用一次，且取用物品的容积之和小于背包总容量的条件下，求出背包所装物品的最大价值。

问题思路

这种问题我们可以很明显的发现是一种动态规划的题目，对于动态规划我们可以看成求dp的状态表示和状态计算。

我们使用具体的例子进行讲解，在01背包问题中，状态表示p[i, j]分为集合和属性，集合的含义即：所有只考虑前i个物品，且总体积不大于j的所有选法;状态表示具有的属性是最大价值。在状态计算中我们主要求集合的划分，把状态p[i, j]划分为加上第i个物品和不加上第i个物品

• 不加上第i个物品：p[i ,j ] = p[i - 1,j]
• 加上第i个物品：p[i, j]=p[i - 1,j - v[i]] +w[i] 含义：先假设他没有加上第i个物品，这样就必须减去第i个物品的体积，后面再确定值后加上第个物品的价值

模板题目

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi, wi用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000 0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>

using namespace std;

const int N = 1010;

int v[N], w[N];
int p[N][N];
int n, m;


int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    {
        for(int j = 0;j <= m;j ++)
        {
            p[i][j] = p[i - 1][j];
            if(j >= v[i]) p[i][j] = max(p[i][j],  p[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            
        }
    }
    cout << p[n][m] << endl; 
    return 0;
}