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前言
Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～ 自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！ 机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！
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1.4 基变换与坐标变换
1.4.1 基变换公式
维线性空间中，设是的一个旧基，是的一个新基
可得
a^{'}_1 = c_{11}a_1+c_{21}a_2+...+c_{n1}a_n\\
a^{'}_2 = c_{12}a_1+c_{22}a_2+...+c_{n2}a_n\\
...............................................\\
a^{'}_n = c_{1n}a_1+c_{n2}a_2+...+c_{nn}a_n\\
\end{cases}$$
> $V$中的任意一个向量都可以由基的组合进行表示
$$(a^{'}_1,a^{'}_2,....,a^{'}_n) = (a_1,a_2,...,a_n)
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n}\\
. & . & & . \\
. & . & & . \\
. & . & & . \\
c_{n1} & c_{n2} & ... & c_{nn}
\end{bmatrix}$$
矩阵$C=\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & ... & c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & ... & c_{2n}\\
. & . & & . \\
. & . & & . \\
. & . & & . \\
c_{n1} & c_{n2} & ... & c_{nn}
\end{bmatrix}$则称为由旧基变为新基的过渡矩阵，且为非奇异矩阵
> 非奇异矩阵：也就是可逆矩阵或矩阵的行列式不为0
## 1.4.2 坐标变换公式
设$\alpha \in V$
- $\alpha$在基$a_1,a_2,...,a_n$之下的坐标为$(\zeta_1,\zeta_2,...,\zeta_n)$
- 在基$a^{'}_1,a^{'}_2,...,a^{'}_n$之下的坐标为($\zeta^{'}_1,\zeta^{'}_2,...,\zeta^{'}_n)$
有
$$\alpha = \zeta_1\alpha_1+\zeta_2\alpha_2+.....+\zeta_n\alpha_n=(a_1,a_2,...,a_n)\begin{bmatrix}
\zeta_1\\
\zeta_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta_n\\
\end{bmatrix}$$
$$\alpha = \zeta^{'}_1\alpha{'}_1+\zeta{'}_2\alpha{'}_2+.....+\zeta{'}_n\alpha{'}_n=(a^{'}_1,a^{'}_2,...,a^{'}_n)\begin{bmatrix}
\zeta^{'}_1\\
\zeta^{'}_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta^{'}_n\\
\end{bmatrix}$$
得到
$$(a_1,a_2,...,a_n)\begin{bmatrix}
\zeta_1\\
\zeta_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta_n\\
\end{bmatrix}=(a^{'}_1,a^{'}_2,...,a^{'}_n)\begin{bmatrix}
\zeta^{'}_1\\
\zeta^{'}_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta^{'}_n\\
\end{bmatrix}=(a_1,a_2,...,a_n)C\begin{bmatrix}
\zeta^{'}_1\\
\zeta^{'}_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta^{'}_n\\
\end{bmatrix}$$
推出
$$\begin{bmatrix}
\zeta_1\\
\zeta_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta_n\\
\end{bmatrix}=C\begin{bmatrix}
\zeta^{'}_1\\
\zeta^{'}_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta^{'}_n\\
\end{bmatrix}$$
或者
$$\begin{bmatrix}
\zeta^{'}_1\\
\zeta^{'}_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta^{'}_n\\
\end{bmatrix}=C^{-1}\begin{bmatrix}
\zeta_1\\
\zeta_2\\
.\\
.\\
.\\
\zeta_n\\
\end{bmatrix}$$
## 举例
### 例 - 1
在$R^{n}$中，设
- $\varepsilon_1=(1 0 ... 0),\varepsilon_2=(0 1 ... 0),....,\varepsilon_n=(0 0 ... 1)$
- $\varepsilon_1^{'}=(1 0 ... 0),\varepsilon_2^{'}=(1 1 ... 0),....,\varepsilon_n^{'}=(1 1 ... 1)$
已知向量$\alpha$在$\varepsilon_1,\varepsilon_2,....,\varepsilon_n$之下坐标为$(\xi_1,...,\xi_n)$，求$\alpha$在$\varepsilon_1^{'},....,\varepsilon_n^{'}$之下的坐标
**解答**
由题意可得
$\varepsilon_1^{'}=\varepsilon_1$
$\varepsilon_2^{'}=\varepsilon_1+\varepsilon_2$
$\varepsilon_3^{'}=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$
$...$
$\varepsilon_n^{'}=\varepsilon_1+\varepsilon_2+....+\varepsilon_n$
即
$$(\varepsilon_1^{'},\varepsilon_2^{'},...,\varepsilon_n^{'})=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,....,\varepsilon_n)\begin{bmatrix}
1 & 1 & ... & 1\\
0 & 1 & ... & 1\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
0 & 0 & ... & 1\\
\end{bmatrix}
得到过渡矩阵
1 & 1 & ... & 1\\
0 & 1 & ... & 1\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
. & . & & .\\
0 & 0 & ... & 1\\
\end{bmatrix}$$
> C中的**列向量**对应每一个$\varepsilon_i^{'}$向量使用基$(\varepsilon_1,\varepsilon_2,....,\varepsilon_n)$表示时的**各个系数**
由
$$\begin{bmatrix}
\xi^{'}_1\\
\xi^{'}_2\\
.\\
.\\
.\\
\xi^{'}_n\\
\end{bmatrix}=C^{-1}\begin{bmatrix}
\xi_1\\
\xi_2\\
.\\
.\\
.\\
\xi_n\\
\end{bmatrix}$$
可知，我们只需要再求出$C^{-1}$
通过计算可得
### 例 - 2
求由$V_4$的基 ：
$$\chi_1=(1,2,-1,0),\chi_2=(1,-1,1,1),\chi_3=(-1,2,1,1),\chi_4=(-1,-1,0,1)$$
变为新基 ：
$$\chi_1^{'}=(2,1,0,1),\chi_2^{'}=(0,1,2,2),\chi_3^{'}=(-2,1,1,2),\chi_4^{'}=(1,3,1,2)$$
时向量坐标的变换公式
**解答**
这里不太容易直接观察出由旧基到新基的过渡方程
一般来说，当旧基为$\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n$时，转化为新基时的过渡方程好求一点（$C$中列向量就是由新基中中元素组成的）
> $\varepsilon_1=(1,0,0,...,0)$
> $\varepsilon_2=(0,1,0,...,0)$
> $.....$
> $\varepsilon_n=(0,0,0,...,1)$
>
所以这里使用基$\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n$进行搭桥
$$(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)\begin{bmatrix}
1 & 1 & - 1 & -1\\
2 & -1 & 2& -1\\
-1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)A
2 & 0 & -2 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3\\
0 & 2 & 1 & 1\\
1 & 2 & 2 & 2\\
\end{bmatrix}=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)B$$
由上面两式可得
$$(\chi_1^{'},\chi_2^{'},\chi_3^{'},\chi_4^{'})=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4)B=(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4)A^{-1}B$$
即
$$(\chi_1^{'},\chi_2^{'},\chi_3^{'},\chi_4^{'})=(\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4)A^{-1}B$$
得到由旧基$\chi_1,\chi_2,\chi_3,\chi_4$转换为新基$\chi_1^{'},\chi_2^{'},\chi_3^{'},\chi_4^{'}$的过渡矩阵$C$
$$C=A^{-1}B$$
设在某一向量在新基中的坐标为$(\xi_1^{'},\xi_2^{'},\xi_3^{'},\xi_4^{'})$，在旧基中的坐标为$(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_1)$，有
$$\begin{bmatrix}
\xi^{'}_1\\
\xi^{'}_2\\
\xi^{'}_3\\
\xi^{'}_4\\
\end{bmatrix}=C^{-1}\begin{bmatrix}
\xi_1\\
\xi_2\\
\xi_3\\
\xi_4\\
\end{bmatrix}$$
等式两边同时进行**转置**可得
$$(\xi_1^{'},\xi_2^{'},\xi_3^{'},\xi_4^{'})=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)(C^{-1})^T$$
>注： $\begin{bmatrix}
\xi^{'}_1\\
\xi^{'}_2\\
\xi^{'}_3\\
\xi^{'}_4\\
\end{bmatrix}^T=(\xi_1^{'},\xi_2^{'},\xi_3^{'},\xi_4^{'})、(AB)^T=B^{T}A^{T}$
再求$(C^{-1})^T$
因此有
$$(\xi_1^{'},\xi_2^{'},\xi_3^{'},\xi_4^{'})=(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4)\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 1 & -1\\
\end{bmatrix}
即可得到坐标变换公式
\xi_1^{'}=\xi_2-\xi_3+\xi_4\\
\xi_2^{'}-\xi_1+\xi_2\\
\xi_3^{'}=\xi_4\\
\xi_4^{'}=\xi_1-\xi_2+\xi_3-\xi_4\\
\end{cases}
结语
说明：
- 参考于 课本《矩阵理论》
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正
