LeetCode 70.爬楼梯

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题目：现有一个长为n的楼梯，每次你可以爬一个或者2个台阶，问如果要爬到楼顶，有多少种方法？

解题思路

看到本题第一眼我就又有印象了，这是组合数学中的一道例题，忘了是什么例题，但解题思路还记得。如果每次可以爬一个或者两个台阶，那么最终到终点的可能也只有这两种情况，那此时可以假设最终有$f(n)$种方法可以到达楼顶，最终的情况无非就是剩下一个台阶或者两个台阶，那如果最后一步是走的一个台阶，则前面可能的方法有$f(n-1)$种，如果最后一步走的是两个台阶，则前面可能的方法有$f(n-2)$种，那么最终可能的方法共$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$种，有点像斐波那契数列，代码也很简单，使用简单的递归就能写出来，如下：

public int climbStairs(int n) {
        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
    }

可惜超时了，我们可以换一种思路，上面方法超市的原因是当n很大的时候，递归栈中存储的数很多，并且存在严重的重复计算，此时必然很耗费资源，我们可以利用一个容器将每个中间结果存起来，如果已有了结果则不需要重复计算，此时就引入动态转移数组，用动态规划的方法来解决。

新创建的数组长度和n一样大，数组中元素i的含义是从首元素开始到数组中第i个位置存在多少种可能，此时状态转移方程和上面的递推公式一样，只需根据这个递推式来更新状态转移数组即可，代码如下：

public int climbStairs(int n) {
        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 2;
        for(int i=2;i<n;i++){
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n-1];
    }

该方法的时间复杂度为$O(N)$，空间复杂度也为$O(N)$，最终实际耗时0ms，击败百分之百Java提交用户。实际上可以进一步优化空间复杂度，如下代码：

public int climbStairs(int n) {
        if(n==1) return 1;
        if(n==2) return 2;
        int temp1=1;
        int temp2=2;
        int temp3=0;
        for(int i=2;i<n;i++){
            temp3=temp1+temp2;
            temp1=temp2;
            temp2=temp3;
        }
        return temp3;
    }

时间复杂度不变，空间复杂度变为$O(1)$。