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题目
Alice 和 Bob 两个人轮流玩一个游戏，Alice 先手。
一开始，有 n 个石子堆在一起。每个人轮流操作，正在操作的玩家可以从石子堆里拿走 任意 非零 平方数 个石子。
如果石子堆里没有石子了，则无法操作的玩家输掉游戏。
给你正整数 n ，且已知两个人都采取最优策略。如果 Alice 会赢得比赛，那么返回 True ，否则返回 False 。
示例 1：
输入：n = 1
输出：true
解释：Alice 拿走 1 个石子并赢得胜利，因为 Bob 无法进行任何操作。
示例 2：
输入：n = 2
输出：false
解释：Alice 只能拿走 1 个石子，然后 Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（2 -> 1 -> 0）。
示例 3：
输入：n = 4
输出：true
解释：n 已经是一个平方数，Alice 可以一次全拿掉 4 个石子并赢得胜利（4 -> 0）。
示例 4：
输入：n = 7
输出：false
解释：当 Bob 采取最优策略时，Alice 无法赢得比赛。
如果 Alice 一开始拿走 4 个石子， Bob 会拿走 1 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 3 -> 2 -> 1 -> 0）。
如果 Alice 一开始拿走 1 个石子， Bob 会拿走 4 个石子，然后 Alice 只能拿走 1 个石子，Bob 拿走最后一个石子并赢得胜利（7 -> 6 -> 2 -> 1 -> 0）。
示例 5：
输入：n = 17
输出：false
解释：如果 Bob 采取最优策略，Alice 无法赢得胜利。
提示：
1 <= n <= 10^5
思考
这是一道有意思的题目，难度困难。相比于前面的石子游戏系列的 I ~ III，我们可以注意到本题中是n个石子堆在一起，而不是有n堆石子。而且，每轮操作时当前玩家可以从石子堆里拿走任意非零 平方数 个石子。
我们考虑用动态规划解决该问题。我们用f[i]表示先手在面对 i 颗石子时是否会赢得比赛。由于先手和后手都采取最优策略，那么 f[i] 必胜时，当且仅当存在某个 f[i - k^2] 为必败的状态。边界条件为 f[0] = false，即没有石子时，先手会输掉游戏。
总而言之，这道题还是挺有意思的，上述的思考过程看似很简单，然而事实并非如此 ... 千里之行始于足下！在本题中，我们定义状态并列出状态转移方程的过程，需要我们好好地体会和学习！
解答
方法一：动态规划
/**
* @author 觅迹寻踪
* @param {number} n
* @return {boolean}
*/
var winnerSquareGame = function(n) {
const f = new Array(n + 1).fill(false)
// i需要从1到n遍历，因为f[i]默认值是false
for (let i = 1; i <= n; ++i) {
for (let k = 1; k * k <= i; ++k) {
if (!f[i - k * k]) {
f[i] = true
break
}
}
}
return f[n]
}
// 执行用时：104 ms, 在所有 JavaScript 提交中击败了60.00%的用户
// 内存消耗：43.7 MB, 在所有 JavaScript 提交中击败了5.00%的用户
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n * n ^ 0.5)。对于每一个数 i，k 的枚举上限不超过 n ^ 0.5。
- 空间复杂度：O(n)，即为存储所有状态需要的空间。
