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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

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1.5 线性子空间

1.5.1 线性子空间

定义1.5

设$V$是数域$K$上一个线性空间，$W$是$V$的一个非空子集

且$W$关于$V$的两种运算也做成一个$K$上的线性空间，称$W$是$V$的一个线性子空间

$V\subseteq V、\{0\}\subseteq V$，$V,\{0\}$都是$V$的线性子空间，称为平凡子空间

定理1.5.1

设$V$是数域$K$上一个线性空间，$W$是$V$的一个非空子集，且对$V$已有的线性运算满足以下条件：

• 若$\alpha,\beta\in W$，则$\alpha + \beta\in W$
• 若$\alpha\in W,k\in K$，则$k\alpha\in W$

则$W$必定是$V$的线性子空间，反之亦然

若需要判断$V$的一个非空子集$W$是否构成一个线性子空间，只需要看$W$是否对$V$上的线性运算封闭

---

零子空间不含线性无关的向量，因此没有基，规定其维数为零

任何一个线性子空间$W$的维数不能大于整个线性空间$V$的维数，即$dimW \leq dimV$

例 - 1

$n$元齐次线性方程组$\begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=0\\ ......\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=0\\ \end{cases}$的全部解，就构成$R^{n}$的一个线性子空间（称为解空间）

解答

$n$元齐次线性方程组可以简写为$Ax=0$，设其解空间为$S$

证加法封闭性:

设$x_1,x_2\in S$，有$Ax_1=0,Ax_2=0$

$A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2=0+0=0$

所以$(x_1+x_2)\in S$

证数乘封闭性:

设$k\in K,x\in S$，有$Ax=0$

$A(kx)=k(Ax)=k0=0$

所以$(kx)\in S$

综上，$S$是$R^{n}$的一个线性子空间

1.5.2 线性子空间的生成问题

设$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$是数域$K$上的线性空间$V$的一组向量，其所有可能的线性组合的集合

$V_1=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_r\alpha_r｜k_i \in K\}$

是非空的，那么$V_1$就是$V$的一个线性子空间，称为由$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$生成（或张成）的子空间，记为

L(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r)=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_r\alpha_r｜k_i \in K\}\tag{1}

反之，在有限线性空间$V$中，其任意一个线性子空间$W$都可以写为(1)式

---

如果$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$是$W$的一个基，那么

$W=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_r\alpha_r｜k_i \in K\}=L(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$

说明$W$是$r$维子空间

零子空间：由零元素生成的子空间$L(0)$

定义1.6

令$A=(a_{ij})_{m×n}\in R^{m×n}$，以$\alpha_i(i=1,2,...,n)$表示$A$的第$i$个列向量，称子空间$L(\alpha_1,...,\alpha_n)$为矩阵的值域（列空间），记为

$R(A)=L(\alpha_1,...,\alpha_n)$

简单的理解：给定一个矩阵$A$，其中$A=(\alpha_1,...,\alpha_n)$ 那么子空间$L(\alpha_1,...,\alpha_n)=k_1\alpha_1+...+k_n\alpha_n$就是$A$的值域

---

$R(A) \subseteq R^{m}$

$R(A)=L(\alpha_1,...,\alpha_n)=k_1\alpha_1+...+k_n\alpha_n$，最后结果为一个m行1列矩阵，所以$R(A) \subseteq R^{m}$

$rank(A)=dimR(A)$

$rank(A)$表示$A$的秩，也可以记为$r(A)$

同理，$A^{T}$的值域

$R(A^{T})\subseteq R^{n}$

$dimR(A)=dimR(A^T)=r(A)$

定义1.7

令$A=(a_{ij})_{m×n}\in R^{m×n}$，称集合$\{\chi｜A\chi=0,\chi\in R^{n}\}$为$A$的核空间（或核、零空间），记为$N(A)$，即

$N(A)=\{\chi｜A\chi=0,\chi \in R^{n}\}$

$N(A)$是齐次线性方程组$A\chi=0$的解空间，也是$R^{n}$的一个子空间

$A$的核空间的维数成为$A$的零度，记为$n(A)$，即

$n(A)=dimN(A)=n-r(A)$

---

一般来说，设$A=(a_{ij})_{m×n}$，则有

• $rank(A) + n(A)=n$
• $n(A)-n(A^T)=n-m$

$n(A)=n-r(A)$ $n(A^{T})=m-r(A^T)$ 又$r(A)=r(A^{T})$ 所以：$n(A)-n(A^T)=(n-r(A))-(m-r(A^T))=n-m$

定理1.5.2

设$V_1$是数域$K$上$n$维线性空间$V$的一个$m$维子空间，$\alpha_1,...,\alpha_m$是$V_1$的一个基，则这个基必可扩充为$V$的一个基

换言之，在$V$中必定可以找到$n-m$个向量$\alpha_{m+1},...,\alpha_n$使得$\alpha_1,...,\alpha_m,...,\alpha_n$是$V$的一个基

结语

说明：

• 参考于 课本《矩阵理论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正