LeetCode 64.最小路径和

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题目：给定一个m*n的网格，每个网格都对应一个非负整数，现要求找出一条从起点到终点的路径（其中起点为00点，终点为网格最后一个点），使得该路径上的数之和最小。

解题思路

本题是经典的动态规划问题，通过不断更新状态转移矩阵即可得到最终的解，动态规划的题目含有一个套路，首先确定该问题可以由一个个小问题解决，之和找到状态之间的转移关系，初始化状态转移数组，之后进行状态的确定即可。

我们首先分析本题，假设选定的示例为下面这个：

1	3	1
1	5	1
4	2	1

对于第一个1，此时我们有两个方向可以走，分别是向下和向右，那么究竟是哪个呢？可能有人说是向下，因为下面的1小，实则不然，如果向下，那在下一步就是4或5，显然最终和明显增大。

我们可以对上面矩阵进行分解，1本身就是1，那么如果向右，则就是下列矩阵从3开始到1的路径最小和。

3	1
5	1
2	1

如果向下，则是下列矩阵从1开始到1的最小路径之和。

1	5	1
4	2	1

以此类推，我们可以发现可以将本问题一步步简单化，最终必然可以得到最终结果。

通过上面的过程，我们可以发现我们将问题一步步拆解，大问题变成了一个个小问题，我们只需要将这些小问题的答案进行组合即可，那么此时就需要一个容器来保存小问题的结果，这个容器就是动态规划的状态转移矩阵，该矩阵大小和网格大小相同，而对于上边界和左边界元素，都可以利用已知元素直接初始化，而对于中间的元素，其值取决于该元素的左边和上边的值，其状态转移方程为：$min(dp[dp[j-1][i], dp[j][i-1]])$，代码如下：

public int minPathSum(int[][] grid) {
        if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {
            return 0;
        }
        int row = grid.length, column = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[row][column];
        dp[0][0]=grid[0][0];
        for(int i=1;i<row;i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
        }
        for(int i=1;i<column;i++){
            dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i];
        }

        for(int i=1;i<column;i++){
            for(int j=1;j<row;j++){
                dp[j][i] = grid[j][i] + Math.min(dp[j-1][i], dp[j][i-1]);
            }
        }
        return dp[row-1][column-1];
    }

上述代码时间复杂度为$O(mn)$， 空间复杂度也为$O(mn)$。最终耗时2ms。