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题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
- 输入：m = 3, n = 7
- 输出：28
示例 2：
- 输入：m = 2, n = 3
- 输出：3
解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向右 -> 向下
- 向右 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向右
示例 3：
- 输入：m = 7, n = 3
- 输出：28
示例 4：
- 输入：m = 3, n = 3
- 输出：6
提示：
- 1 <= m, n <= 100
- 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9
解题思路
动态规划法
我们分析题目，观察图形，能够轻松发现某个格子的走法dp[i][j]是由它左方格子和上方格子组合得来，很明显是一道动态规划题目，也就是dp[i][j] = dpdp[i - 1][j] + dp[i][j - 1],而且第一列和第一行格子的路径走法都为1.按照递归五部曲：
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
- 确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。
- dp数组的初始化
如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理
- 确定遍历顺序
这里要看一下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
- 举例推导dp数组
//动态规划法
var uniquePaths = function(m, n) {
let dp = new Array(m).fill(1).map(() => new Array(n).fill(1));
// dp[i][j] 表示到达（i，j） 点的路径数
for (let i=1; i<m; i++) {
for (let j=1; j< n;j++) {
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
};
数论方法
在这个问题中我们要到达右下角，不管什么走法，都需要配m+n-2步，其中必须走m-1步向下，n-1步向右，这些都是确定了，因此这个问题就转换成了组合问题：从m+n-2步选择m-1步向下（选择完向下，向右的就确定了），如此便是计算C（m-1）（m+n-2）.
// 数论方法
var uniquePaths = function(m, n) {
let numerator = 1;
let denominator = m - 1;
let count = m - 1;
let a = m + n - 2;
while (count--) {
numerator *= (a--);
while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
numerator /= denominator;
denominator--;
}
}
return numerator;
};
