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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

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1.6 子空间的交与和

1.6.1 子空间的交

定理1.6.1

如果$V_1,V_2$是数域$K$上线性空间$V$的两个子空间，那么它们的交$V_1\cap V_2$也是$V$的子空间

证明

因为$0\in V_1,0\in V_2$，得到$0\in V_1 \cap V_2$

说明$V_1 \cap V_2$非空

证加法封闭性：

设$\alpha,\beta\in V_1\cap V_2$，可以得到

$\alpha,\beta\in V_1及\alpha,\beta \in V_2$

因为$V_1,V_2$也是线性空间，同样满足加法封闭性，故

$\alpha+\beta\in V_1,\alpha+\beta\in V_2$

即

$\alpha + \beta \in V_1 \cap V_2$

证数乘封闭性：

设$k \in K,\alpha\in V_1 \cap V_2$

$\alpha\in V_1 \cap V_2\Rightarrow a\in V_1,a\in V_2$

因为$\alpha$是一个线性空间，故符合数乘封闭性，得到

$k\alpha\in V_1,k\alpha\in V_2$

即

$k\alpha \in V_1 \cap V_2$

综上，$V_1\cap V_2$也是$V$的子空间

---

子空间的交满足交换律和结合律

• 交换律：$V_1 \cap V_2 = V_2 \cap V_2$
• 结合律：$(V_1 \cap V_2)\cap V_3=V_1 \cap (V_2 \cap V_3)$

1.6.2 子空间的和

定义1.8

设$V_1,V_2$都是数域$K$上线性空间$V$的子空间，$\chi\in V_1,\zeta\in V_2$

则所有$\chi + \zeta$这样的元素的集合叫做$V_1$与$V_2$的和（或和空间），记为$V_1+V_2$

$V_1 + V_2 =\{\sigma｜\sigma = \chi + \zeta,\chi \in V_1,\zeta \in V_2\}$

定理1.6 .2

如果$V_1,V_2$都是数域$K$上线性空间$V$的子空间，那么它们的和$V_1+V_2$也是$V$的子空间

子空间和运算满足交换律和结合律：

• 交换律：$V_1 + V_2=V_2 + V_1$
• 结合律：$(V_1 + V_2)+V_3=V_1 + (V_2 + V_3)$

结语

说明：

• 参考于 课本《矩阵理论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正