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前言

笔者除了大学时期选修过《算法设计与分析》和《数据结构》还是浑浑噩噩度过的（当时觉得和编程没多大关系），其他时间对算法接触也比较少，但是随着开发时间变长对一些底层代码/处理机制有所接触越发觉得算法的重要性，所以决定开始系统的学习（主要是刷力扣上的题目）和整理，也希望还没开始学习的人尽早开始。

系列文章收录《算法》专栏中。

问题描述

给定一个非负整数 n 请计算 0 到 n 之间的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并输出一个数组。

示例 1:

输入: n = 2
输出: [0,1,1]
解释: 0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10

示例 2:

输入: n = 5
输出: [0,1,1,2,1,2]
解释:
0 --> 0
1 --> 1
2 --> 10
3 --> 11
4 --> 100
5 --> 101

说明 :

• 0 <= n <= 105

进阶:

• 给出时间复杂度为 O(n*sizeof(integer)) 的解答非常容易。但你可以在线性时间 O(n) 内用一趟扫描做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为 O(n) 。
• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount ）来执行此操作。

确定学习目标

对《前 n 个数字二进制中 1 的个数》的算法过程进行剖析。

剖析

题目给我的第一反应就是，使用Integer.toString把整数转成二进制字符串，在遍历0到n的过程中，遍历每个数的二进制字符串的每个字符是否和‘1’匹配，匹配的话加1，如下代码：

public static int[] zeroToNOneCount(int n) {
    if (n < 0 || n > Math.pow(10, 5)) {
        throw new RuntimeException("n的范围为：0 <= n <= 10^5");
    }
    int[] oneCountArry = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        String iToBinaryStr = Integer.toString(i, 2);
        int oneCount = 0;
        for (int j = 0; j < iToBinaryStr.length(); j++) {
            if (iToBinaryStr.charAt(j) == '1') {
                oneCount++;
            }
        }
        oneCountArry[i] = oneCount;
        oneCount = 0;
    }

    return oneCountArry;
}

很简单，但是比较暴力，我们可以再想想怎么利用二进制位运算把1一个一个消灭掉，设一个整数为n，n &= (n - 1)就可以消灭掉最后一个1，每次这么做直到n变成0，如下面代码：

public static int[] zeroToNOneCount1(int n) {
    if (n < 0 || n > Math.pow(10, 5)) {
        throw new RuntimeException("n的范围为：0 <= n <= 10^5");
    }
    int[] oneCountArry = new int[n + 1];
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        int j = i;
        int oneCount = 0;
        while (j > 0) {

            j &= (j - 1);
            oneCount++;
        }
        oneCountArry[i] = oneCount;
        oneCount = 0;
    }

    return oneCountArry;
}