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前端算法第一一三弹-寻找两个正序数组的中位数

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

示例 3：

输入：nums1 = [0,0], nums2 = [0,0]
输出：0.00000

示例 4：

输入：nums1 = [], nums2 = [1]
输出：1.00000

示例 5：

输入：nums1 = [2], nums2 = []
输出：2.00000

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二分查找

给定两个有序数组，要求找到两个有序数组的中位数，最直观的思路有以下两种：

• 使用归并的方式，合并两个有序数组，得到一个大的有序数组。大的有序数组的中间位置的元素，即为中位数。
• 不需要合并两个有序数组，只要找到中位数的位置即可。由于两个数组的长度已知，因此中位数对应的两个数组的下标之和也是已知的。维护两个指针，初始时分别指向两个数组的下标 000 的位置，每次将指向较小值的指针后移一位（如果一个指针已经到达数组末尾，则只需要移动另一个数组的指针），直到到达中位数的位置。

假设两个有序数组的长度分别为 m 和 n，上述两种思路的复杂度如何？

第一种思路的时间复杂度是 $O(m+n)$，空间复杂度是 $O(m+n)$。第二种思路虽然可以将空间复杂度降到 $O(1)$，但是时间复杂度仍是 $O(m+n)$。

如何把时间复杂度降低到 $O(log⁡(m+n))$ 呢？如果对时间复杂度的要求有 $log⁡$，通常都需要用到二分查找，这道题也可以通过二分查找实现。

根据中位数的定义，当 $m+n$ 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 $(m+n)/2$ 个元素，当 $m+n$ 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 $(m+n)/2$ 个元素和第 $(m+n)/2+1$ 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 $(m+n)/2$ 或 $(m+n)/2+1$。

假设两个有序数组分别是 $A$ 和 $B$。要找到第 k 个元素，我们可以比较 $A[k/2−1]$ 和 $B[k/2−1]$，其中 / 表示整数除法。由于 $A[k/2−1]$ 和 $B[k/2−1]$ 的前面分别有 $A[0 .. k/2−2]$ 和 $B[0 .. k/2−2]$，即 $k/2−1$ 个元素，对于 $A[k/2−1]$ 和 $B[k/2−1]$ 中的较小值，最多只会有 $(k/2−1)+(k/2−1)≤k−2(k/2-1)+(k/2-1)$ 个元素比它小，那么它就不能是第 k 小的数了。

因此我们可以归纳出三种情况：

• 如果 $A[k/2−1]<B[k/2−1]$，则比 $A[k/2−1]$ 小的数最多只有 $A$ 的前 $k/2−1$ 个数和 $B$ 的前 $k/2−1$ 个数，即比 $A[k/2−1]$ 小的数最多只有 $k−2$ 个，因此 $A[k/2−1]$ 不可能是第 k 个数，$A[0]$ 到 $A[k/2−1]$ 也都不可能是第 k 个数，可以全部排除。
• 如果 $A[k/2−1]>B[k/2−1]$，则可以排除 $B[0]$ 到 $B[k/2−1]$。
• 如果 $A[k/2−1]=B[k/2−1]$，则可以归入第一种情况处理。

可以看到，比较 $A[k/2−1]$ 和 $B[k/2−1]$ 之后，可以排除 $k/2$ 个不可能是第 k 小的数，查找范围缩小了一半。同时，我们将在排除后的新数组上继续进行二分查找，并且根据我们排除数的个数，减少 k 的值，这是因为我们排除的数都不大于第 k 小的数。

有以下三种情况需要特殊处理：

• 如果 $A[k/2−1]$ 或者 $B[k/2−1]$ 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 k 的值，而不能直接将 k 减去 $k/2$。
• 如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 k 小的元素。
• 如果 $k=1$，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

用一个例子说明上述算法。假设两个有序数组如下：

A: 1 3 4 9
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

两个有序数组的长度分别是 4 和 9，长度之和是 13，中位数是两个有序数组中的第 7 个元素，因此需要找到第 $k=7$ 个元素。

比较两个有序数组中下标为 $k/2−1=2$ 的数，即 $A[2]$ 和 $B[2]$，如下面所示：

A: 1 3 4 9
       ↑
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
       ↑

由于 $A[2]>B[2]$，因此排除 $B[0]$ 到 $B[2]$，即数组 $B$ 的下标偏移（offset）变为 3，同时更新 k 的值：$k=k−k/2=4$。

下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 $k/2−1=1$ 的数，即 $A[1]$ 和 $B[4]$，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: 1 3 4 9
     ↑
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9
             ↑

由于 $A[1]<B[4]$，因此排除 $A[0]$ 到 $A[1]$，即数组 $A$ 的下标偏移变为 2，同时更新 k 的值：$k=k−k/2=2$。

下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 $k/2−1=0$ 的数，即比较 $A[2]$ 和 $B[3]$，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: [1 3] 4 9
         ↑
B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9
           ↑

由于 $A[2]=B[3]$，根据之前的规则，排除 $A$ 中的元素，因此排除 $A[2]$，即数组 $A$ 的下标偏移变为 3，同时更新 k 的值： $k=k−k/2=1$。

由于 k 的值变成 1，因此比较两个有序数组中的未排除下标范围内的第一个数，其中较小的数即为第 k 个数，由于 $A[3]>B[3]$，因此第 k 个数是 $B[3]=4$。