01背包问题（优化成一维）

一:01背包问题 问题简述有N件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000 0<vi,wi≤1000 思路：选取将集合划分为两部分，对于第i件可以选择取，可以选择不取。 二维：f(i,j)表示从前i件物品中取，体积为j时的价值最大值。

核心代码

        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 0; j <= m; j++){
                 if(j>=v[i]) 
                 f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
                 else 
                 f[i][j] = f[i-1][j];
            }
   

优化版本

     for(int i = 1; i <= n; i++)
         for(int j = m; j >= 0; j++){
         //这里f[j]表示前i轮已经决策的物品且背包容量j下的最大价值。;
         那么这里为什么j要从大到小来取，我们还原这个式子
         if(j>=v[i])
         f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
         else
         f[i][j] = f[i-1][j];
         前面的j是从i中取，后面的j,j-v是从i-1中取;举个例子
        ** i = 5, j = 7,对体积为3的物品进行决策;这里f[7] = max(f[7],f[4]+w[5]),这里的f[4]实际为f[4][4];若从小到大枚举,这里的f[4]已经被计算过，则为f[5][4]，相当于污染了数据，逆序则没有问题。在我看来，要使用逆序，就是为了在计算第i轮时的状态需要i-1轮的状态,正序就会覆盖第i-1的状态从而导致后面计算体积较大的情况所用的数据不对**
         优化后
         if(j>=v[i])
         f[j] = max(f[j],[j-v[i]]+w[i]);
         else
         f[j] = f[j];
         这里可以发现只有j>=v[i]时，状态才发生改变，所以可以在循环时加上限制
         for(int i = 1; i <= n; i++)
         for(int j = m; j >= v[i]; j++)
             f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
         最后f[m]即为体积为m时从n件物品中取出的最大值。