Catalan 卡特兰数

定义

• 给定 n 个 0 和 n 个 ** 1**，它们将按照某种顺序排成长度为 **2n ** 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 **1 ** 的个数的序列有多少个。

计算

证明

• 运用数形结合思想，将问题进行转化：

推论

1. 求n个左括号与右括号组成的合法括号序列个数为： $Cat_n$
2. [1，n]经过一个stack,得到的合法出栈序列数： $Cat_n$
3. n个节点构成的不同二叉树个数： $Cat_n$

代码

int quickmi(int a,int k,int p)
{
    int res = 1;
    while(k){
        if(k&1){
            res = (long long)res * a % p;
        }
        a = (long long)a * a;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}
int catalan(int n,int mod)
{
    int a = n * 2, b = n;
    int res = 1;
    for (int i = a; i > a - b; i--)
        res = (long long)res * i % mod;

    for (int i = 1; i <= b; i++)
        res = (long long)res * quickmi(i, mod - 2, mod) % mod;

    res = (long long)res * quickmi(n + 1, mod - 2, mod) % mod;
}