[路飞]_前端算法第一一二弹-最长递增子序列「这是我参与2022首次更文挑战的第19天，活动详情查看：2022首次更文挑

「这是我参与2022首次更文挑战的第19天，活动详情查看：2022首次更文挑战」

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，

[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

动态规划

定义 $dp[i]$ 为考虑前 i 个元素，以第 i 个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意 $nums[i]$ 必须被选取。

我们从小到大计算 dp\textit{dp}dp 数组的值，在计算 $dp[i]$ 之前，我们已经计算出 $dp[0…i−1]$ 的值，则状态转移方程为：

图片.png

即考虑往 $dp[0…i−1]$ 中最长的上升子序列后面再加一个 $nums[i]$ 。由于 $dp[j]$ 代表 $nums[0…j]$ 中以 $nums[j]$ 结尾的最长上升子序列，所以如果能从 $dp[j]$ 这个状态转移过来，那么 $nums[i]$ 必然要大于 $nums[j]$ ，才能将 $nums[i]$ 放在 $nums[j]$ 后面以形成更长的上升子序列。

最后，整个数组的最长上升子序列即所有 $dp[i]$ 中的最大值。

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var lengthOfLIS = function (nums) {
  const dp = new Array(nums.length).fill(1);
  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    // i与i前面的元素比较
    for (let j = 0; j < i; j++) {
      // 找比i小的元素，找到一个，就让当前序列的最长子序列长度加1
      if (nums[i] > nums[j]) {
        dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
      }
    }
  }
  // 找出最大的子序列
  return Math.max(...dp);
};

复杂度分析

时间复杂度： $O(n^2)$ ，其中 n 为数组 nums 的长度。动态规划的状态数为 n，计算状态 dp[i] 时，需要 O(n) 的时间遍历 dp[0…i−1] 的所有状态，所以总时间复杂度为 O(n^2)。
空间复杂度：O(n)，需要额外使用长度为 n 的 dp 数组。

图片.png