前言

Hello！小伙伴！非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰标签：程序猿｜C++选手｜学生简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！机器学习小白阶段文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习知其然知其所以然！

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3.2 线性变换的矩阵表示

定义3.7

设 $\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 是线性空间 $V$ 的一个基， $V$ 上的线性变换 $\mathscr{A}$ 在这个基下的像 $\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n}$ ,有

\quad\\ \mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_2}=a_{12}\boldsymbol\varepsilon_1+a_{22}\boldsymbol\varepsilon_2+...+a_{n2}\boldsymbol\varepsilon_n\\ \quad\\ ...................................................\\ \quad \\ \mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n}=a_{1n}\boldsymbol\varepsilon_1+a_{2n}\boldsymbol\varepsilon_2+...+a_{nn}\boldsymbol\varepsilon_n$$ 利用矩阵形式表示 $$(\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2,...,\boldsymbol\varepsilon_n)\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{bmatrix}

令

a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{bmatrix}

其中矩阵 $A$ 的第 $i$ 列是 $\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_i}$ 在基 $\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 之下的坐标

称矩阵 $A$ 为线性变换 $\mathscr{A}$ 在基 $\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 之下的矩阵表示

Notes

线性空间 $V$ 上的一个线性变换 $\mathscr{A}$ 在给定的基下可以惟一确定一个矩阵 $A$
任意给定一个矩阵 $A$ ，可以惟一确定一个线性变换 $\mathscr{A}$
给定一个线性变换 $\mathscr{A}$ ，在不同的基下矩阵的表示一般是不相同的

命题

设 $\mathscr{A}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换， $\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 是 $V$ 的一个基底，且

$(\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2,...,\boldsymbol\varepsilon_n)A$

则

$R(\mathscr{A})=L(\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\mathscr{A}\boldsymbol{\varepsilon_n})$
$\mathscr{A}的秩=A的秩$
$N(\mathscr{A})=\{\alpha=k_1\boldsymbol{\varepsilon_1}+...+k_n\boldsymbol{\varepsilon_n} ｜A\begin{bmatrix} k_1\\ .\\ . \\ .\\ k_n\\ \end{bmatrix}=0\}$

定理3.2.1

设 $\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个基

线性变换 $\mathscr{A}、\mathscr{B}$ 在该基下依次用矩阵表示 $A、B$ ，则有

（1） $(\mathscr{A}+\mathscr{B})(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})(A+B)$

（2） $(k\mathscr{A})(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})(kA)$

（3） $(\mathscr{A}\mathscr{B})(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})(AB)$

（4）若 $\mathscr{A}$ 可逆，则 $\mathscr{A}^{-1}(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n})=(\boldsymbol{\varepsilon_1},...,\boldsymbol{\varepsilon_n}){A^{-1}}$

结语

说明：

参考于课本《矩阵理论》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正

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【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（11）：线性变换的矩阵表示

前言

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3.2 线性变换的矩阵表示

定义3.7

命题

定理3.2.1

结语