【数论】——同余

定义

若存在整数 a.b，除以 m 的余数相同，则称 a，b mod m 同余，记为：

a\equiv b\qquad (mod\ m)

同余系 & 剩余系

同余系：对区间 [1,m-1], 集合 {a+km} 的所有数 mod m，余数都是 a，称集合为一个 mod m 的同余类，记做： $\overline a$ 。
剩余系：mod m 的同余类有 m 个：

\overline 0,\overline 1...\overline {m-1}

构成 m 的完全剩余系； [1,m] 中与 m 互质的数代表的同余类有： $\phi(m)$ 个，构成 m 的简化剩余系。

简化剩余系关于 mod m 乘法封闭：任取其中 a，b 与 m 互质，则 a*b 也与 m 互质（反证法证明）。

扩展欧几里得

对于任意整数 a，b，存在一对整数 x，y，有：

a*x+b*y = \gcd(a,b)

证明

若 b = 0，则当：

x = 1,y = 0

公式成立。

若 b>0, 根据欧几里得算法：

\gcd(a,b) = \gcd(b,a\ mod\ b)

此时不妨假设存在： $x_0,y_0$ 使得

b*{x_0}+(a\ mod\ b)*{y_0} = \gcd(b,a\ mod\ b)

对 $(a\ mod\ b)$ 展开有：

a\ mod\ b = a-b*[\frac{a}{b}]

代入有：

b*x_0+(a-b*[\frac{a}{b}])*y_0 = \gcd(b,a\ mod\ b)

分理出 x，y：

a*y_0 + b*(x_0-[\frac{a}{b}]*y_0)= \gcd(b,a\ mod\ b) = \gcd(a,b)

令， $x'= y_0,y' = x_0-[\frac{a}{b}]*y_0$ , 代入上式：

a*x'+b*y' = \gcd (a,b)

通过以上方式，可以运用数学归纳法，得证扩展欧几里得。

代码实现

在欧几里得的基础上，传入 x，y，运用： $x'= y,y' = x-[\frac{a}{b}]*y$ 即可递推得的到系数 x，y。
代码

int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y)// 函数返回 a，最大公约数
{
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = gcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;// 临时记录 x
   // 利用：x'= y,y' = x-[a/b]*y
    x = y;
    y = t - y * (a / b);
    return d;
}

线性同余方程

定义

对于整数 a，b，m，满足：

a*x \equiv b\qquad (mod\ m)

求整数 x（有解或无解）。由于未知数最高次为 1，因此又被称为一次同余方程。

求解

由定义式易知： $a*x-b$ 是 m 的倍数，不妨设商为 $-y$ 对定义式去模运算：

a*x+m*y = b

则原方程的解等价于求满足上式的 x 的值。

方程有解等价于：

b\mid gcd(a,m)

因此可以借助扩展欧几里得进行求解

代码

int solve(int a, int m, int& x, int& y)
{if (!m) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = solve(m, a % m, x, y);
    int t = x;
    y = x;
    x = t - (a / m) * y;
    return d;
}
bool check(int m,int d)
{return m % d == 0;}
void answer(int a,int m)
{
    int x, y;
    int d = solve(a, m, x, y);
    int answer;
    if (check(m, d))
        answer = (x % m + m) % m;
    else
        puts("impossible");
}

线性同余方程组

定义

对于 n 对模数与被模数 $a_i,m_i$ , 有：

x \equiv a_1\qquad (mod\ m_1)

x \equiv a_2\qquad (mod\ m_2)

...

x \equiv a_n\qquad (mod\ m_n)

求解

中国剩余定理设 $m,M_i$ 为

m = \prod_{i=1}^{n}{m_{i}}

M_i = \frac{m}{m_i}

若 $m_i$ 之间两两互质，设 $t_i$ 为：（ $M_i^{-1}$ ）

M_i*t_i \equiv 1\qquad(mod\ m_i)

解 $x$ 为：

x = \sum_{i\; =\; 1}^{n}{a_{i}\cdot M_{i}\cdot t_{i}}

证明——（来自李煜东《算法竞赛进阶指南》）

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m 不满足互余下的通解

取出前两个式子：

x \equiv a_1\qquad (mod\ m_1)

x \equiv a_2\qquad (mod\ m_2)

去模处理：

x = k_1*a_1 + m_1

x = k_2*a_2 + m_2

联立并化简：

k_1*a_1-k_2*a_2 = m_2-m_1

根据扩展欧几里得, 求解 $k_1,k_2$ 不定方程 $x = k_1*a_1 + m_1$ 的解为：

x = (k_1+k\frac{a_1}{gcd(a_1,a_2)})*a_1+m_1

化简：

x = a_1*k_1+m_1+k*lcm(a_1,a_2)

令 $m = a_1*k_1+m_1,a = lcm(a_1,a_2)$

x =k*a+ m

因此方程组中所有式子两两合并，n-1 次后最终可以化为一个形如 $x =k*a'+m'$ 的等式。最终求解：

x\ mod\ a'\equiv m'

中 x 的解，等价于： $m\ mod \ a$ 的最小正整数。

代码

typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, x, y);
    LL t = x;
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return d;
}
LL mod(LL a, LL b)
{
    return ((a % b) + b) % b;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    LL a, m;
    bool flag = true;
    scanf("%lld%lld", &a, &m);//先读入第一个式子
    n--;
    //读入剩余的并合并
    while (n--) {
        LL a0, m0;
        scanf("%lld%lld", &a0, &m0);
        LL k1, k2;
        LL d = exgcd(a, -a0, k1, k2);
        if ((m0 - m) % d) {//如果同余方程无解
            flag = false;
            break;
        }
        k1 = mod(k1 * (m0 - m) / d, abs(a0 / d));//防止溢出
        m = a * k1 + m;//合并后的m = a*k1+m
        a = abs(a / d * a0);//合并后的a = lcm(a,a0）
    }
    if (flag)
        printf("%lld", mod(m, a));
    else
        puts("-1");
    return 0;
}