【数论】——欧拉定理与快速幂

2022-02-05 412 阅读1分钟

【数论】——欧拉定理与快速幂

欧拉定理

若正整数 a，b 互质，则有：（其中： $phi(n)$ 为欧拉函数）

a^{\phi(n)}\equiv 1\qquad (mod\ n)

推论

费马小定理若 p 是质数，则对于任意整数 a，有：

a^{p-1}\equiv 1\qquad (mod\ p)

证明（构造函数法）——（来自李煜东《算法竞赛进阶指南》）

若正整数 a，n 互质，则对任意正整数 a 有：

a^b \equiv a^{p\ mod \ \phi(n)}\qquad(mod\ n)

证明（构造函数法）——（来自李煜东《算法竞赛进阶指南》）

快速幂

反复平方法 k 位二进制可以表示所有 [1, $2^k-1$ ] 的所有数（状态压缩），由此性质，对于给定一个取模数 p，预处理：

a^{2^0}\ (mod\ p),a^{2^1}(mod\ p),...,a^{2^k}(mod\ p)

然后将根据所求数的二进制表示每一位取出相乘即可求出要求的幂。

代码

int qickmi(int a,int k,int p)// a^k%p
{
    int res = 1;
    // 要转为 LL 防止溢出
    while(k){if(k&1)
            res = (long long)res * a % p;
        a = (long long)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

乘法逆元

定义若 b，m 互质，并且有 $b\mid n$ ，则存在一个整数 x，使得

\frac{a}{b} \equiv a *x\qquad (mod\ m)

称 x 为 b mod m 的乘法逆元，记作：

b^{-1} \qquad (mod\ m)

变形后也可以得到：

b*b^{-1} \equiv \qquad (mod\ m)

如果m是质数，则根据费马小定理：

b^{m-1} \equiv 1 \qquad (mod\ m)

代入上式

b*b^{m-1} \equiv 1 \qquad (mod\ m)

根据乘法逆元定义式，此时b的乘法逆元为：

b^{p-2}

调用快速幂即可求出逆元，在求组合数时会派上用场