【数论】——欧拉函数

定义

• 定义 $\phi(n)$ 表示 [1,n] 中与 n 互质的数的个数。 由算术基本定理可得：

• 证明 设 $p_1,p_2...p_m$ 为 n 的质因子，则易知，对于任意 $p_i$ , 其倍数有 : $2p_i,3p_i...\frac{n}{p_i}$ 当 n 有多个质数时，遵循容斥原理，约数个数为：

合并化简后：

欧拉函数的性质及推论（证明结合算术基本定理即可证明）

1. 对于x大于1，区间**[1,x]中与n**互质的数的和为：

2. 若a，b互质，则有：

求解某数的欧拉函数

分解质因数法

• 由于 $\phi(n)$ 表示 [1,n] 中与 n 互质的数的个数，因此只需要对 n 进行质因数分解再带入公式即可求出 $\phi(n)$。
• 代码

int get_phi(int x)
{
    int ans = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++) {if(n%i ==){x = ans / i * (i - 1);// 利用公式（pi-1）/pi
            while(x%i == 0)
                x /= i;
        }
    }
    if(x>1) // 此时的 x 为 x 的最大质因数
        ans = ans / x * (x + 1);
    return res;
}

求解区间内所有数的欧拉函数

线性筛法求欧拉函数

• 筛法原理 基于线性筛质数原理（让每一个合数被最小的质数筛去），因此可以用一个递推，从 phi[i]，推到，phi[i*primes[j]]。
• 分类讨论：

1. 如果 p 是质数，则与 [2,p-1] 所有都互质，即 phi（p） = p-1;
2. 如果p不是质数：遍历所有质数的倍数，递推见下方代码中注释

• 复杂度分析： 加上break优化后，为O(n)。
• 代码（注释是重点）

bool st[N];
int primes[N], cnt;
int phi[N];
void get_phis(int x)
{
        for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!st[i]) {primes[++cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;// 定义出发，如果 p 是质数，则与 [2,p-1] 所有都互质，即 phi（p） = p-1
        }
        for (int j = 1; primes[j] <= n / i; j++) {st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0 {//primes[j]是 i 的一个质因子
                //phi[i]中已经乘了（primes[j]-1）/primes[j]
                //phi[primes[j]*i]和 phi[i]的差别在于最前面的 N 上，因此多乘一个 primes[j]保证 N 相同即可
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                
                break;
            }
            // 如果 primes[j]不是 i 的一个质因子，就要多乘一个（primes[j]-1）/primes[j]，再乘一个 primes[j]保证 N 相同
            // 化简后分母消去，仅剩(primes[j] - 1
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);}
    }
}