动态规划之背包问题（二）

「这是我参与2022首次更文挑战的第3天，活动详情查看：2022首次更文挑战」。

01背包后讲解完全背包，首先看一道01背包的例题

01背包求具体方案问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N

数据范围

0<N,V≤1000 0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

1 4

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int w1[N], w2[N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> w1[i] >> w2[i];

    for (int i = n; i >= 1; i -- )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            dp[i][j] = f[i + 1][j];
            if (j >= w1[i]) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - w1[i]] + w2[i]);
        }

    int j = m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (j >= w1[i] && dp[i][j] == dp[i + 1][j - w1[i]] + w2[i])
        {
            cout << i << ' ';
            j -= w1[i];
        }

    return 0;
}

完全背包问题

完全背包物品是无限个的。

n个物品（每个物品无限个），每个物品v体积，w价值，有m个背包，如何取价值最大化

分析

F[ i , j ] = max ( F [ i - 1 , j ] , F [ i , j - v] + w )

该公式表示：F[ i , j ] 从前 i 个物品中选出了总体积为 j 的物品放入背包的最大价值和

​ F [ i - 1 , j ] 表示未选第 i 个物品的最大价值

​ F [ i , j - v ] + w (条件：j >= v) 表示选第 i 个物品的最大价值（选1，2，3……个的总和）

模板

求最大价值

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];
int main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = v; j <= m; j ++ )//注意和01背包的区别
            f[j] = max(f[j - v] + w, f[j]);
    }
    cout << f[m] << endl; 
    return 0;
}

求方案数

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int v[4] = {10, 20, 50, 100};//与01背包求方案数类似
int f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    f[0] = 1;
    for (int i = 0; i < 4; i ++ )
        for (int j = v[i]; j <= n; j ++ )
            f[j] += f[j - v[i]];

    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}