1414. 和为 K 的最少斐波那契数字数目 : 详解为何「每次选择不超过当前 k 的最大数」的可行解为最优解

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1414. 和为 K 的最少斐波那契数字数目 ，难度为 中等。

Tag : 「数学」、「二分」、「贪心」

给你数字 k ，请你返回和为 k 的斐波那契数字的最少数目，其中，每个斐波那契数字都可以被使用多次。

斐波那契数字定义为：

• F1 = 1
• F2 = 1
• Fn = Fn-1 + Fn-2 ， 其中 n > 2 。

数据保证对于给定的 k ，一定能找到可行解。

示例 1：

输入：k = 7

输出：2 

解释：斐波那契数字为：1，1，2，3，5，8，13，……
对于 k = 7 ，我们可以得到 2 + 5 = 7 。

示例 2：

输入：k = 10

输出：2 

解释：对于 k = 10 ，我们可以得到 2 + 8 = 10 。

示例 3：

输入：k = 19

输出：3 

解释：对于 k = 19 ，我们可以得到 1 + 5 + 13 = 19 。

提示：

• $1 <= k <= 10^9$

打表 + 贪心 + 二分

利用 k 的数据范围为 $1 <= k <= 10^9$，可以先使用 static 进行打表，预处理出值不超过 $10^9$ 的斐波那契数，存入数组 list 中。

然后考虑如何使用 list 中的数字（可重复）凑成 k。

一个直观的想法是：每次从 list 中找到不超过 k 的最大数，用于进行对 k 的消减，直到 k 被消减到 $0$ 为止，消减的次数即是答案。

而「从 list 中找到不超过 k 的最大数」这一操作，可使用「二分」。

下面证明该做法的正确性：

假定该做法所得到的可行解序列为 A（序列长度为 $ans$），真实最优解序列为 B（序列长度为 $min$）。

假设两者长度不等（只能是 $ans > min$），这意味着我们将 A 和 B 之间的相同的元素去掉后，剩余元素序列有如下结论：

• 「A 序列剩余元素之和」等于「B 序列剩余元素之和」；
• 「A 序列剩余元素个数」大于「B 序列剩余元素个数」。

A' 为 A 的剩余元素序列，B' 为 B 的剩余元素序列。

我们知道 A' 中的最大数必然大于 B' 中的最大数。不可能是等于关系（相等元素均被去掉），也不可能是小于关系，否则在构造 A 序列的时候就会按照生成 B 序列的方向进行构造。

但要只靠该性质，要证明不存在满足上述结论的斐波那契数组合仍是困难。

我们可以从「斐波那契数」性质出发，挖掘可行解 A 的某些性质，然后证明不存在不满足该性质的方案比 A 更优即可。

对于可行解 A 而言，由于我们「每次都选择不超过当前 k 的最大数」，因此必然可行解中必然不存在两项相邻的斐波那契数，否则会在选择 $f_i$ 和 $f_{i+1}$ 之前先因为「每次都选择不超过当前 k 的最大数」而先选择 $f_{i+2}$。

同时，由于 $f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$、$f_{i+1}=f_{i}+f_{i-1}$ 和 $f_{i+2}=f_{i+1}+f_{i}$ 可得 $2 * f_{i}=f_{i+1}+f_{i-2}$。

也就是说可行解 A 中必然不会出现相同值，否则会在选择 $f_i$ 之前先因为「每次都选择不超过当前 k 的最大数」而先选择 $f_{i+1}$。

该推理对于边界特殊值 $1$ 同样成立，如果可行解 A 中存在多个 $1$，则必然会先因为「每次都选择不超过当前 k 的最大数」选择 $f_3=2$。

再根据「斐波那契数奇偶数项求和」可知：$a_1 + a_3 + ... + a_{2n - 1} = a_{2n}$ 和 $a_2 + a_4 + ... + a_{2n} = a_{2n+1} - 1$。

综上，可以证明不存在比可行解 A 更短的最优解。

代码：

class Solution {
    static List<Integer> list = new ArrayList<>();
    static {
        list.add(1);
        int a = 1, b = 1;
        while (b <= (int)1e9) {
            int c = a + b;
            a = b; b = c;
            list.add(c);
        }
    }
    public int findMinFibonacciNumbers(int k) {
        int ans = 0;
        while (k != 0) {
            int l = 0, r = list.size() - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (list.get(mid) <= k) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            k -= list.get(r);
            ans++;
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：令值不超过 $10^9$ 的斐波那契数的数量为 C，复杂度为 $O(\log{k} * \log{C})$
• 空间复杂度：$O(C)$

贪心

上述做法，由于预处理了所有值不超过 $10^9$ 的斐波那契数，导致无法直接取得「值不超过 k 的最大数」，需要再套一层「二分」。

不采用预处理的方式，利用斐波那契数列的递推性质，以及凑成 k 的最优解中不包含重复数字的结论，我们可以做到 $O(\log{k})$ 时间复杂度和 $O(1)$ 空间复杂度。

代码：

class Solution {
    public int findMinFibonacciNumbers(int k) {
        int a = 1, b = 1;
        while (b <= k) {
            int c = a + b;
            a = b; b = c;
        }
        int ans = 0;
        while (k != 0) {
            if (k >= b) {
                k -= b; ans++;
            }
            int c = b - a;
            b = a; a = c;
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：$O(\log{k})$
• 空间复杂度：$O(1)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1414 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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