「这是我参与2022首次更文挑战的第16天，活动详情查看：2022首次更文挑战」。
这段时间比较放松，节日的氛围也会让人变得慵懒。不过新年之初，以早为贵，除了每天都尽量早起之外，也不能忘记自己立下的flg，继续leetcode做题。
题目
给定一个正整数 n ，你可以做如下操作：
如果 n 是偶数，则用 n / 2替换 n 。
如果 n 是奇数，则可以用 n + 1或n - 1替换 n 。
返回 n 变为 1 所需的 最小替换次数 。
示例 1：
输入：n = 8
输出：3
解释：8 -> 4 -> 2 -> 1
示例 2：
输入：n = 7
输出：4
解释：7 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1 或 7 -> 6 -> 3 -> 2 -> 1
示例 3：
输入：n = 4
输出：2
思路
一开始使用搜索的方式做了，因为根据题意，偶数只能除以2，不用过多考虑；奇数可以选择+1或者-1，需要选择让接下来步数比较少的那个。可以用一个Map来存储，键是n，值是n还原到1最小的次数，初始，我们有键值对（1，0）。接下来，我们可以用如下伪代码思路去递归搜索：
int f(n) {
if(map.containsKey(n)) ｛
return map.get(n);
｝
if(n % 2 == 0) {
ans = 1 + f(n/2);
map.put(n, ans);
return ans;
} else {
ans = 1 + min(f(n+1), f(n-1));
map.put(n, ans);
return ans;
}
}
因为n+1肯能会超过int，所以这里可以进行一些转化，奇数+1或者-1后一定是偶数，而偶数只能除以2，所以，我们可以把这2步合并起来，变成(n+1)/2和(n-1)/2，而n是奇数时，这2个表达式的值其实是 n/2+1 和 n/2，因为n是int，除以2会自动向下取整。这样上面的伪代码可以优化成如下:
int f(n) {
if(map.containsKey(n)) ｛
return map.get(n);
｝
if(n % 2 == 0) {
ans = 1 + f(n/2);
map.put(n, ans);
return ans;
} else {
ans = 2 + min(f(n/2+1), f(n/2));
map.put(n, ans);
return ans;
}
}
目前已经可以解出题目了，不过看了别人的题解，发现用贪心也挺巧妙的，需要一些数学证明过程，这里也写一下。
偶数只能除以2，没啥好说的；重点是奇数，可以分成2类：
- n % 4 == 1
- n % 4 == 3 对于类型1，我们的选择总是先-1再除以2，可以使用反证法来证明，假设我们选择先+1再除以2是最优解，因为n % 4 == 1，所以(n+1)/2的结果是奇数，所以接下来又有2种可能：
- 如果先+1再除以2，那么最终得到的是(n+3)/4，那么我们从(n-1)/2这个中间结果后进行先除以2再+1也会得到(n+3)/4
- 如果先-1再除以2，那么最终得到的是(n-1)/4，那么我们从(n-1)/2这个中间结果除以2也会得到(n-1)/4 综上所述，我们对于n % 4 == 1的情况，选择先-1再除以2总是最优解，至少是最优解之一； 我们可以用类似的方法去证明n % 4 == 3的情况，选择先+1再除以2总是最优解，除了一个特殊情况，就是n=3，这时先-1再除以2，直接可以得到1。 根据上面的思路可以写出更高效的代码，不过既然我们追求了高效，还有一个点就是，除以2可以用左移1位来实现，不过注意乘除运算优先级是高于加减的，但是位移运算优先级低于加减，所以要注意增加括号。
Java版本代码
class Solution {
public int integerReplacement(int n) {
if (n == 1) {
return 0;
}
int ans = 0;
while (n > 1) {
if (n % 2 == 0) {
ans++;
n = n >> 1;
} else {
if (n % 4 == 1) {
ans += 3;
n = (n - 1) >> 2;
} else {
if (n == 3) {
ans += 2;
n = 1;
} else {
ans += 2;
n = (n >> 1) + 1;
}
}
}
}
return ans;
}
}
