数组中k个逆序对问题

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n个数里面，形成k个逆序对（降序对）的有几个，求逆序对有多少种排列

LeetCode

一、分析

dp[i][j]：有i个数，所有排列的情况下，有j个逆序对（降序对）

n = 3，k = 2

1,2,3

1,2,3 1到2，1到3，2到3，0个逆序对（降序对）

1,3,2 1到3，1到2，3到2，1个逆序对（降序对）

2,1,3 2到1，2到3，1到3，1个逆序对（降序对）

2,3,1 2到3，2到1，3到1，2个逆序对 （降序对）√

3,1,2 3到1，3到2，1到2，2个逆序对 （降序对）√

3,2,1 3到2，3到1，2到1，3个逆序对（降序对）

n行k列，推出第一列全是1，第一行从第二列开始全是0

例如dp[5][3]：(12345)5个数，3个降序对

有如下情况：

• dp[4][3]：(1234)，3个降序对，5在最右边abcd5
• dp[4][2]：(1234)，2个降序对，5在倒数第二位置abc5d（5到d）
• dp[4][1]：(1234)，1个降序对，5在倒数第三位置ab5cd（5到c，5到d）
• dp[4][0]：(1234)，0个降序对，5在倒数第二位置a5bcd（5到b，5到c，5到d）

斜率优化：

dp[5][3] = dp[4][3210]

dp[5][4] = dp[4][43210] = dp[4][4] + dp[5][3]

推出 j<i：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

dp[5][7] = dp[4][7...3]

dp[5][8] = dp[4][8...4] = dp[4][8] + dp[5][7] - dp[4][3]

推出 j≥i：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-i]

二、实现

public static int kInversePairs(int n, int k) {
    if (n < 1 || k < 0) {
        return 0;
    }
    int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];
    dp[0][0] = 1;
    int mod = 1000000007;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= k; j++) {
            dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]) % mod;
            if (j >= i) {
                dp[i][j] = (dp[i][j] - dp[i - 1][j - i] + mod) % mod;
            }
        }
    }
    return dp[n][k];
}

三、总结

样本对应模型，往往答案跟结尾有关