[路飞]_寻找两个正序数组的中位数

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4. 寻找两个正序数组的中位数

题目

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。

示例1

输入： nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出： 2.00000
解释： 合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例2

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

示例3

输入： nums1 = [0,0], nums2 = [0,0]
输出： 0.00000

题解

如果没有这个时间复杂度要求为 O(log (m+n))，解决这个问题并不复杂。现在时间复杂度要求为 O(log (m+n))明显要使用二分法解决问题。

二分法

两个有序数组如何二分？

中位数：

• 如果两数组长度之和$(m+n)$为奇数，中位数是两个数组合并排序后的中间值
• 如果两数组长度之和$(m+n)$为偶数，中位数是两个数组合并排序后最中间两个数字的平均值

思路：

• 假设对数组$nums1 和 nums2$ 分割
• 中位数一定存在在这条分割线两侧，分割线左侧$nums1 和 nums2$ 较大值 和 分割线右侧 $nums1 和 nums2$ 较小值组成中位数
• 分割线左边的所有元素需要满足的个数 $Math.floor( (n + m + 1) / 2)$
  • 长度之和$(m+n)$为偶数时，当在长度之和上+1时，整除向下取整，可以得到一个中位数，另一个中位数在计算结果上+1即可得到
  • 长度之和$(m+n)$为奇数时，分割线的左边比右边多一个元素的要求，此时在长度之和上+1，会被2整除，可以直接得到中位数
• 为了防止数组越界，要保证 $nums1$的长度小于$nums2$
• 二分法边界 $[0,m]$,这里 $nums1$ 的长度为假设为m
• 假设 $target = Math.floor( (n + m + 1) / 2)$
• 如果 $nums1$ 给切分成$[0,k],[k+1,m]$ ,数组 $nums$ 必须要切成 $[0,target - k],[target - k + 1 , n]$
• 这样两个数组就有了联系，在切分数组 $nums1$ 的时候 $nums2$ 根据规则切分即可
• 终止条件,在$[0,m]$区间$left == right$ 找到了中间点

边界处理：

• 分割线在nums1最左边时，分割线在nums1最右边时
• 分割线在nums2最左边时，分割线在nums2最右边时
• 数组之和为奇数
• 数组之和为偶数
• 返回结果

根据上述思路编辑代码如下：

代码

var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) {
  if (nums1.length > nums2.length) {
    let t = nums1
    nums1 = nums2
    nums2 = t
  }
  const len1 = nums1.length
  const len2 = nums2.length

  const target = (len1 + len2 + 1) >> 1

  let left = 0
  let right = len1

  while (left < right) {
    const m = left + ((right - left + 1) >> 1)
    const j = target - m

    if (nums1[m - 1] > nums2[j]) {
      right = m - 1
    } else {
      left = m
    }
  }

  let m = left
  let n = target - m

  let n1Max = m === 0 ? -Infinity : nums1[m - 1]
  let n1Min = m === len1 ? Infinity : nums1[m]

  let n2Max = n === 0 ? -Infinity : nums2[n - 1]
  let n2Min = n === len2 ? Infinity : nums2[n]

  if ((len2 + len1) % 2 === 1) {
    return Math.max(n1Max, n2Max)
  } else {
    const max = Math.max(n1Max, n2Max)
    const min = Math.min(n1Min, n2Min)
    return (max + min) / 2
  }
}