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圆圈中最后剩下的数字

0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

 

示例 1：

输入: n = 5, m = 3

输出: 3

示例 2：

输入: n = 10, m = 17

输出: 2  

限制：

1 <= n <= 10^5

1 <= m <= 10^6

题解

算法一：数学+迭代（Java）

题目中的要求可以表述为：给定一个长度为 n 的序列，每次向后数 m 个元素并删除，那么最终留下的是第几个元素？

这个问题很难快速给出答案。但是同时也要看到，这个问题似乎有拆分为较小子问题的潜质：如果我们知道对于一个长度 n - 1 的序列，留下的是第几个元素，那么我们就可以由此计算出长度为 n 的序列的答案。

我们将上述问题建模为函数 f(n, m)，该函数的返回值为最终留下的元素的序号。

首先，长度为 n 的序列会先删除第 m % n 个元素，然后剩下一个长度为 n - 1 的序列。那么，我们可以递归地求解 f(n - 1, m)，就可以知道对于剩下的 n - 1 个元素，最终会留下第几个元素，我们设答案为 x = f(n - 1, m)。

由于我们删除了第 m % n 个元素，将序列的长度变为 n - 1。当我们知道了 f(n - 1, m) 对应的答案 x 之后，我们也就可以知道，长度为 n 的序列最后一个删除的元素，应当是从 m % n 开始数的第 x 个元素。因此有 f(n, m) = (m % n + x) % n = (m + x) % n。

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        int x = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            x = (x + m) % i;
        }
        return x;
    }
}

时间复杂度：O（N）

空间复杂度：O（1）

算法一：数学+迭代（Go）

func lastRemaining(n int, m int) int {
    idx := 0
    for i:=2; i<=n; i++ {
        idx = (idx+m)%i
    }
    return idx
}

时间复杂度：O（N）

空间复杂度：O（1）

算法二：数学+递归（Java）

思路同上，但是通过递归实现，而非通过迭代。

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        return f(n, m);
    }

    public int f(int n, int m) {
        if (n == 1) {
            return 0;
        }
        int x = f(n - 1, m);
        return (m + x) % n;
    }
}

时间复杂度：O（N）

空间复杂度：O（N）