「这是我参与2022首次更文挑战的第13天，活动详情查看：2022首次更文挑战」。
连续一周多的阴雨，今天终于开了太阳。今天是年前最后一个工作日，不过也没安排啥工作任务，刷刷leetcode就过去了。
题目
我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：
我从 1 到 n 之间选择一个数字。
你来猜我选了哪个数字。
如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。
如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。
每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会 输掉游戏 。
给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择那个数字 。
示例 1：
输入：n = 10
输出：16
制胜策略如下：
数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。
(1)如果这是我选中的数字，你的总费用为 0 。否则，你需要支付 7 。
(2)如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。
(2.1)如果这是我选中的数字，你的总费用为 7 。否则，你需要支付 9 。
(2.2)如果我的数字更大，那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏，总费用为 7 + 9 = 16 。
(2.3)如果我的数字更小，那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏，总费用为 7 + 9 = 16 。
(3)如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。
(3.1)如果这是我选中的数字，你的总费用为 7 。否则，你需要支付 $3 。
(3.2)如果我的数字更大，则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。
(3.2.1)如果这是我选中的数字，你的总费用为 7 + 3 = 10 。否则，你需要支付 5 。
(3.2.2)如果我的数字更大，那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏，总费用为 7 + 3 + 5 = 15 。
(3.2.3)如果我的数字更小，那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏，总费用为 7 + 3 + 5 = 15 。
(3.3)如果我的数字更小，则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。
(3.3.1)如果这是我选中的数字，你的总费用为 7 + 3 = 10 。否则，你需要支付 1 。
(3.3.2)如果我的数字更大，那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏，总费用为 7 + 3 + 1 = 11 。
在最糟糕的情况下，你需要支付 16 。因此，你只需要 16 就可以确保自己赢得游戏。
思路
其实本题跟二分法是比较类似的，不过二分法目标是最小计算次数，每次代价都是一样的，本题目标是最小代价。
我们可以看到，1 ~ n的数组，如果在k处分开，那么最终的代价就是k + max(1 ~ k-1, k+1 ~ n)，1 ~ k-1明显是所求问题的子问题，但是k+1 ~ n不是。所以这里我们定义状态是一个二维数组dp，dp[i,j]代表从i~j的数组中必然猜出数字的最小代价，那么状态转移方程就是
dp[i,j] = min(k + max(dp[1][k], dp[k+1][n])) (i<=k<j) 这里，k的取值前闭后开的原因是，如果长度大于1，分割点在j-1必然比j要优，当前费用更少且信息不比猜j要少。 在实际编码时，有几个注意点：
- i == j时，数组只包含1个数字，所以dp[i][j] = 0
- 求解dp[i,j]时，可以先初始化成Integer的最大值
- 最外层循环i要倒过来求，保证在dp[1][k], dp[k+1][n]在之前已经求解过了
Java版本代码
class Solution {
public int getMoneyAmount(int n) {
int[][] dp = new int[n+1][n+1];
for (int i = n-1; i >= 1; i--) {
for (int j = i+1; j <=n; j++) {
dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
for (int k = i; k < j; k++) {
int value = k + Integer.max(dp[i][k-1], dp[k+1][j]);
dp[i][j] = Integer.min(dp[i][j], value);
}
}
}
return dp[1][n];
}
}
