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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

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5.3 方阵的幂级数

5.3.1 方阵级数收敛定义及判断

定义5.7

对于任意的$n$阶复方阵序列$\{A_k\}$，称$\sum_{k=0}^{\infty}A_k$为方阵级数，记

$S_N=\sum_{k=0}^{N}A_{k}$

若方阵序列$S_N$收敛，且

$\lim_{N\rightarrow\infty}S_N=S$

则称方阵级数$\sum_{k=0}^{\infty}A_{k}$收敛，且称该方阵级数的和为$S$，记为

$S=\sum_{k=0}^{\infty}A_k$

不收敛的方阵级数称为发散

---

如果记方阵$A_k$第$i$行$j$列元素为$(A_k)_{ij}$，方阵$S$的$i$行$j$列元素为$(S)_{ij}$

那么方阵级数$\sum_{k=0}^{\infty}A_k$收敛于$S$的充分必要条件是：对方阵序列$\{S_N\}$

$\lim_{N\rightarrow\infty}S_N=S,S_N=\sum_{k=0}^{N}A_k$

的充分必要条件是$n^2$个数值序列$\{(S_N)_{ij}\}$

$\lim_{N\rightarrow\infty}(S_N)_{ij}=(S)_{ij}\qquad i,j = 1,2,3,...,n$

这里有点绕，第一个充要条件成立需要第二个充要条件成立

也就是$n^2$个数值级数

$\sum_{k=0}^{\infty}(A_k)_{ij}\qquad (i,j = 1,2,3,...,n)$

都收敛，当且仅当这$n^2$个数值级数中至少有一个发散时，方阵级数$\sum_{k=0}^{\infty}A_k$发散

定义5.8

若方阵级数$\sum_{k=0}^{\infty}A_k$所对应的$n^2$个数值级数

$\sum_{k=0}^{\infty}(A_k)_{ij} \qquad(i,j = 1,2,3,...,n)$

都绝对收敛，则称该方阵级数绝对收敛

方阵级数的收敛、绝对收敛的性质

性质1

若方阵级数$\sum_{k=0}^{\infty}A_k$绝对收敛，则它一定收敛

并且任意调换各项都次序所得的新级数仍收敛，且其和不变

性质2

方阵级数绝对收敛的充分必要条件是对于任意一种方阵范数$||\cdot||$，级数$\sum_{k=0}^{\infty}||A_k||$收敛

性质3

对于确定的数字矩阵$P,Q\in C^{n×n}$

若方阵级数$\sum_{k=0}^{\infty}A_k$收敛（绝对收敛）

则方阵级数$\sum_{k=0}^{\infty}PA_kQ$也收敛（绝对收敛），且有

$\sum_{k=0}^{\infty}PA_kQ=P(\sum_{k=0}^{\infty}A_k)Q$

5.3.2 方阵幂级数收敛定义及判断

定义：方阵幂级数

对于任意方阵$A\in C^{n×n}$及复数域上数列$\{a_k\}$，称方阵级数

$\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^k$

为方阵$A$的幂级数

与级数的不同在于，对$A^k$的每一项有一个乘数$a_k$

---

方阵幂级数$\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^k$收敛的充分必要条件是$n^2$个数项级数$\sum_{k=0}^{\infty}a_k(A^k)_{ij}$收敛，$i,j=1,2,3...,n$

方阵幂级数$\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^k$绝对收敛的充分必要条件是对任意一种方阵范数$||A||$，级数$\sum_{k=0}^{\infty}||a_kA^k||$收敛

定理5.3.1

设$A\in C^{n×n}$的谱半径为$\rho(A)$,则对任意给定的$\varepsilon>0$，总存在一方阵范数$||A||_{*}$，使得

$||A||_{*}<\rho(A)+\varepsilon$

定理5.3.2

设复变幂级数$\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k$的收敛半径为$R$

$A\in C^{n×n}$的谱半径为$\rho(A)$，则

（1）当$\rho(A)<R$时，方阵幂级数$\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^k$绝对收敛

（2）当$\rho(A)>R$时，方阵幂级数$\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^k$发散

结语

说明：

• 参考于 课本《矩阵理论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正