二分查找与二分答案

二分查找

• 对于一个有序序列，通过二分折半查找，
• 可以实现以 O(logn) 的复杂度找到目标值的位置或目标值的附属值 （在离散化操作中，查询映射后下标的操作）

二分答案

• 对于已经给定答案区间，要求 “最小的最大”or“最大的最小” 时，多用二分答案来快速查找答案。

复杂度分析

• 对于长度为n的序列，进行一次查找，由于每次查找区间长度会缩短一半，
• 因此一次成功的二分查找复杂度为O(logn)
• 对于m次二分操作，则复杂度会变为 O(m·logn) ，同时，根据题目的 check函数 ，代码运行常数会受到一定影响（即 check函数 越复杂常数越大，不保证出题人会恶意卡常）

题目可能的关键词

1. 二分查找

• 谨记：二分查找是工具
• 对于题目中需要查找下标，多个序列求一个集合（i,j,k）的对数等，查找时从暴力角度思考会有遍历全程的操作，多用二分查找（不过一般也可以用map或者unordered_map来解决）。

1. 二分答案

• 若答案数字范围在 0≤n≤1e6 题目情景有比较明确的单调性存在
• 对于求满足题意的最大值，至少可以满足题意思的最小值

二分模版

整数二分模版

1. 写好check函数是完成二分查找的关键 bool check(int x) { }

2. 整数二分让人头疼的边界问题

• 由于c++，java中除法默认是向下取整，
• 因此，mid在确定时需要明确是否进行向上取整处理
• 这个时候背一下固定的模版就会很有用

模版 bserach_l

• 寻找第一个大于（等于）条件的最小值

int bserach_l(int l, int r, int x)
{
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;//不需要加，一因为求的是lmin
        if (check(mid))
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    return l;
}

模版 bserach_r

• 寻找第一个小于（等于）条件的最大值

int bserach_r(int l, int r, int x)
{
    while (l < r) {
        int mid = l + r + 1 >> 1;//注意+1，rmax要向上取
        if (check(mid))
            l = mid;
        else
            r = mid - 1;
    }
    return l;
}

PS：本人秉持实用性原则，理解记忆同时进行。

• 在更新 l 和 r 时

1. 以下情况不用 +1 r = mid,l = mid+1

2. 以下情况要 +1 l = mid,r = mid-1

• 边界问题的相关证明，可以写一写样例，大致的卡边界时，如果l = mid时，不加1，会导致在更新时一直是集合中有两个元素，从而导致死循环

模版题

AcWing 789. 数的范围

浮点数二分模版

• 用的比较少 可以用来求根，简单来说就是二分迭代求根，收敛的速度不是很快 but，如果求根还是首推牛顿迭代，或者在用一下埃特金加速，在机器学习更常用

浮点数二分模版

bool check(double x) {} //同样的check函数
double bsearch_double(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-8;
    //eps表示精度，一般比题目要求多2位就行了
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

模版题

AcWing 790. 数的三次方根9827