Dynamic Programming学习笔记 (6) - 使用最小花费爬楼梯 (力扣# 746)

使用最小花费爬楼梯是爬楼梯问题的延续，其题面为

给定一个整数数组 cost，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。
支付该费用后，可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始。
计算到达楼梯顶部的最低花费。

实例如下：

cost = {10,15,20,16}

答案是30，花费10从0号台阶出发，上两级台阶到达2号台阶，再花费20上两级到到顶端也就是第4号台阶。

解题思路如下：

首先，我们有两个选择作为出发点，第一个选择是花费cost(0)从0号台阶出发，第二个选择是花费cost(1)从1号台阶出发, 如果从0号台阶出发，下一步的选择是上一级台阶到达1号台阶，或是上两级台阶到达2号台阶从；如果从1号台阶出发，下一步的选择是上一级台阶到达2号台阶，或是上两级台阶到达3号台阶。以此类推，我们可以用下面的数学表达式来描述这个问题：

F(k)
   =0,  (k = N)
   =cost[k] + min(F(k + 1), F(k + 2))

其中k是0开始的数组下标，N是cost数组的长度。而最终的答案就是F(0)和F(1)之间较小的一个。

Java代码实现如下:

class BottomUp {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int N = cost.length;
        int[] dp = new int[N + 1];

        dp[N - 1] = cost[N - 1];

        for (int i = N - 2; i >= 0; i --) {
            dp[i] = cost[i] + Math.min(dp[i + 1], dp[i + 2]);
        }

        return Math.min(dp[0], dp[1]);
    }
}

上面的代码中使用了一个长度为N + 1的DP数组，与斐波那契数列问题类似，我们可以进行进一步的优化来减少空间复杂度。