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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

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5.4 方阵函数

5.4.1 方阵函数$f(A)$定义

最简单的方阵函数是矩阵多项式

$B=f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n$

其中$A\in C^{n×n},a_i\in C$

简单理解：以前知识中函数形式为:$f(x) = a_0 + a_1x + ... + a_n x^n$ 在这里，变量$x$变为了矩阵$A$ 得到：$f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n$

5.4.2 用方阵$A$的若当形计算方阵函数$f(A)$

定理5.4.1

若方阵$X\in C^{n×n}$的幂级数$\sum_{k=0}^{\infty}a_kX^{k}$收敛，并记

$f(X)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kX^{k}$

则当

$X = diag(X_1,X_2,...,X_t)$

有

$f(X)=f(diag(X_1,X_2,...,X_t))=diag(f(X_1),f(X_2),...,f(X_t))$

$diag$：对角矩阵

这个定理的大概意思是说：若$X$可以变换为对角阵时，$f(X)$可以等效为$diag(f(X_1),f(X_2),...,f(X_t))$

定理5.4.2

任给收敛半径为$R$的复变幂级数

$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kz^{k}$

及一个$n$阶$Jordan$块

则当$|\lambda_0| < R$时，级数

$\sum_{k=0}^{\infty}a_kJ_{0}^{k}$

绝对收敛，且

这个定理的大概意思是说： 若$X$不可以变换为对角阵，但可以变换为若当矩阵时 $f(X)$可以等效为上图矩阵

利用$A$的标准形状计算方阵函数$f(A)$

当$A$与对角形相似时，即存在可逆矩阵$P$，使

$A=P[diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)]P^{-1}$

则对于复变幂级数

$f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}\quad |z|<R$

当$\rho(A) < R$时，矩阵幂级数

$f(A)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^{k}$

收敛，且

$f(A)=f(P[diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)]P^{-1})=P[diag(f(\lambda_1),f(\lambda_2),...,f(\lambda_n))]P^{-1}$

---

例：设$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$，求$e^{A},sin(A),cos(A)$

---

一般遇到的方阵函数往往不是常数矩阵$A$的函数

而是变量$t$的函数矩阵$At$的函数

即尚须计算方阵函数$e^{At},sin(At),cos(At)$，计算方法同上面一样，即

当$A$不与对角形矩阵相似时，即存在可逆矩阵$P$，使得

---

例：设$A=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}$，求$e^{A}$

若是求$e^{At}$，则为

5.4.3 用$f(z)$在$A$上的谱值方法计算方阵函数$f(A)$

设$h(\lambda)$是有限次多项式，$m(\lambda)$是方阵$A$的最小多项式（令$deg[m(\lambda)]=t$），用$m(\lambda)$去除$h(\lambda)$，其商为$g(\lambda)$，余式为$r(\lambda)$，便有

$h(\lambda)=m(\lambda)g(\lambda)+r(\lambda)$

有$deg[r(\lambda)] \leq t-1$，或$r(\lambda)=0$

$deg[m(\lambda)]$：多项式$m(\lambda)$的最高次数 比如$m(\lambda)=4\lambda^2+\lambda+3$ 则$deg[m(\lambda)]=2$

由$m(A)=0$，有

$h(A)=m(A)g(A)+r(A)$

说明方阵$A$的一个任意多项式$h(A)$总可以表示为$A$的次数不超过$t-1$的多项式$r(A)$

$t$是$A$的最小多项式$m(\lambda)$的次数

也就是说，方阵$A$的任何有限次多项式$h(A)$都可以被$E,A,...,A^{t-1}$线性表示，且$E,A,...,A^{t-1}$是线性无关的

$r(A)$是唯一的

---

因为方阵函数$f(A)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^{k}$的幂级数表达式收敛，而$A^{k}(k\geq t)$又可以表示为$A$的次数不超过$t-1$的多项式

则可以把$f(A)$表示为次数不超过$t-1$的方阵多项式$T(A)$

因为任意一个$A^k$都可以表示为一个次数不超过$t-1$的多项式 所以$A^1+A^{2}+...+A^{k}$结果一定也是次数不超过$t-1$的多项式

定义5.9

设$n$阶方阵$A$的最小多项式为

$m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{t1}(\lambda-\lambda_2)^{t2}....(\lambda-\lambda_s)^{ts}$

其中$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s$是$A$的互不相同的特征根

---

如果复函数$f(z)$及其各阶导数$f^{(l)}(z)$在$z=\lambda_i(i=1,2,...,s)$处的导数值，即

均为有限值，便称函数$f(z)$在方阵$A$的谱上给定，并称这些值为$f(z)$在$A$上的谱值

定理5.4.3

设$A\in C^{n×n}$的最小多项式为

$m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{t1}(\lambda-\lambda_2)^{t2}....(\lambda-\lambda_s)^{ts}$

其中$t_1+t_2+...+t_s=t$，$\lambda_i\neq\lambda_j(i\neq j, i,j = 1,2,...,s)$

其实这里的$t$就是$deg[m(\lambda)]$

而方阵函数$f(A)$是收敛的方阵幂级数$\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^{k}$的和函数，级

$f(A)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^{k}$

设

$T(\lambda)=b_0+b_1\lambda+...+b_{t-1}\lambda^{t-1}$

使得

则有

$T(A)=f(A)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kA^k$

---

例：设$A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & -2 \end{bmatrix}$，计算$e^{Az}$

例：设$A=\begin{bmatrix} 5 & -4 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}$，计算$A^{100}$

结语

说明：

• 参考于 课本《矩阵理论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正