leetcode-整数拆分

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这两天应该是年前最忙碌的2天了，继续努力，给这一年一个圆满的结尾吧。最近一直在做一些动态规划的题目，也慢慢开始有了一些感觉，争取可以在这个月把leetcode中动态规划的题目都做了吧。

题目

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2：
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

思路

定义状态为一维数组dp，dp[n]代表正整数n可以拆分成正整数的最大乘积。
状态转义方程可以这么考虑，先把n分成2个正整数的和，i和n-i，显然i的取值可以从1到n-1。对于每个i，可以得到的乘积就是 i*(n-i)。当然，n-i可以作为一个数，也可以继续拆分，所以，对于每个i，乘积并不是固定的，最大乘积应该是 i*max(n-i, dp[n-i])。
这样就可以得到状态转移方程

dp[n] = max(i*max(n-i, dp[n-i]))
1 < i <= n-1 这里还要注意一下边界条件，dp[0] = 0；另外，由于1无法拆分成2个正整数的和，所以dp[1]=0。

另外，本题可以使用数学来解，不需要使用动态规划，可以参考官方的题解。

Java版本代码

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int max = 0;
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                max = Integer.max(max, j * Integer.max(i-j, dp[i-j]));
            }
            dp[i] = max;
        }
        return dp[n];
    }
}