同态与同构

作者： 边城量子 ( shihezichen@live.cn )

同态 Homomorphism

• 此概念一般对两个群而言, 一般指群和群之间的基于某种运算的映射关系
• 定义:

设 $(M, *)$ 和 $(S, \cdot)$ 是两个群, $\sigma: M \rightarrow S, \forall a,b \in M,$ 有 $\sigma(a*b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)$, 则称 $\sigma$ 为 $M$ 到 $S$ 的同态或群映射

• 举个简单的例子:
  • 设 $(M,*)$ 定义为实数集合 $R$ 上的加法运算 $+$ , 即 $(R,+)$
  • 定义 $\sigma$ 为某种线性运算, 如 $\sigma(x) = 10x$
  • 通过定义可知如下过程成立: $\sigma(a*b) = \sigma(a+b) = 10(a+b) = 10a + 10b = \sigma(a) + \sigma(b) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)$
  • 可知过程满足如上同态的定义, 因此称 $\sigma$ 为 $M$ 到 $M$ 的同态
• 推广
  • 如果 $\sigma$ 是单射, 则称 $\sigma$ 为单同态
  • 如果 $\sigma$ 是满射, 则称 $\sigma$ 为满同态, 也称 $M$ 和 $S$ 为同态
  • 如果 $\sigma$ 是双射, 则称 $\sigma$ 为同构, 记做 $\sigma: M \approx S$
  • 如果 $M = S$ , 则称 $\sigma$ 为自同构