Dynamic Programming学习笔记 (2)- 爬楼梯 (力扣 #70)

同解数学应用题一样，我们在做DP算法题时必须要通过题目的字面表达来理解其实际的数学和逻辑含义。

爬楼梯是一道入门级的DP题，其表达如下，

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

给定 n 是一个正整数。

解题思路如下：

首先，我们很容易知道当n=1时，答案是1，因为只有一种方法可以到达第一个台阶，就是上1个台阶。

其次，当n=2时， 我们有两种方法到达第二个台阶，第一种方法是直接上2个台阶，第二种方法是先上1个台阶然后再上1个台阶。

那么当n=3时，我们可以知道要到达第三阶，我们要么从第一阶上2个台阶， 要么从第二阶上1个台阶，因此到达第三阶的方法数就是到第一阶的方法数和到第二阶的方法数之和。

由此类推，给定一个n(n>2), 到达第n阶的方法数就是到第n-1阶的方法数和到第n-2阶的方法数之和, 用数学公式形式表达就是

F(n) = F(n-1) + F（n-2)  n > 2
F(1) = 1
F(2) = 2

我们不难看出这个数学表达式和斐波那契数列几乎相同，因此将斐波那契数列的代码稍作修改就可以用于解决这个爬楼梯问题。

以下Java代码给出了自下而上的DP实现

class BottomUp {
    public int climbStairs(int n) {
        //F(1) = 1
        if (n == 1) {
            return 1;
        }

        //F(2) = 2
        if (n == 2) {
            return 2;
        }

        //初始化DP缓存
        int[] dp = new int[n + 1];

        //设置初始值
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;

        for (int i = 3; i <= n; i ++) {
            //F(k) = F(k - 1) + F(k - 2)
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

        //dp[n]给出了问题的最终解
        return dp[n];
    }
}