2029. 石子游戏 IX

难度中等

一、题目描述

Alice 和 Bob 再次设计了一款新的石子游戏。现有一行 n 个石子，每个石子都有一个关联的数字表示它的价值。给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 是第 i 个石子的价值。

Alice 和 Bob 轮流进行自己的回合，Alice 先手。每一回合，玩家需要从 stones 中移除任一石子。

如果玩家移除石子后，导致 所有已移除石子 的价值总和可以被 3 整除，那么该玩家就 输掉游戏 。
如果不满足上一条，且移除后没有任何剩余的石子，那么 Bob 将会直接获胜（即便是在 Alice 的回合）。

假设两位玩家均采用最佳决策。如果 Alice 获胜，返回 true ；如果 Bob 获胜，返回 false 。

二、示例

示例 1：

输入： stones = [2,1]
输出： true
解释： 游戏进行如下：
- 回合 1：Alice 可以移除任意一个石子。
- 回合 2：Bob 移除剩下的石子。 
已移除的石子的值总和为 1 + 2 = 3 且可以被 3 整除。因此，Bob 输，Alice 获胜。

示例 2：

输入： stones = [2]
输出： false
解释： Alice 会移除唯一一个石子，已移除石子的值总和为 2 。 
由于所有石子都已移除，且值总和无法被 3 整除，Bob 获胜。

示例 3：

输入： stones = [5,1,2,4,3]
输出： false
解释： Bob 总会获胜。其中一种可能的游戏进行方式如下：
- 回合 1：Alice 可以移除值为 1 的第 2 个石子。已移除石子值总和为 1 。
- 回合 2：Bob 可以移除值为 3 的第 5 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 = 4 。
- 回合 3：Alices 可以移除值为 4 的第 4 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 = 8 。
- 回合 4：Bob 可以移除值为 2 的第 3 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 = 10.
- 回合 5：Alice 可以移除值为 5 的第 1 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 + 5 = 15.
Alice 输掉游戏，因为已移除石子值总和（15）可以被 3 整除，Bob 获胜。

提示：

$1 \leq stones.length \leq 10^5$
$1 \leq stones[i] \leq 10^4$

三、分析

依题意，给定一个整数数组stones，两位玩家轮流移除数组元素，若已移除元素和能整除3则该玩家输，若所有元素都移除完毕且未分胜负则Bob直接获胜。求谁会获胜。判断胜负的条件之一为已移除的元素和能否整除3，所以可将数组中所有元素mod 3得出该元素移除后对元素和的影响：

为0，不影响已移除元素和。
为1，已移除元素和加1。
为2，已移除元素和加2。我们分析一下Alice获胜的情况：
移除为0的元素不影响已移除元素的元素和，所以若为0的元素个数为偶数个，该情况等价于没有元素0.若为0的元素个数为奇数个，该情况等价于只有 1 个元素0的情况。
Alice先手：
若移除元素1，则Bob必定也移除元素1，然后Alice移除元素2，Bob继续移除元素1，依此可为：112121...
若移除元素2，则Bob必定也移除元素2，然后Alice移除元素1，Bob继续移除元素2，依此可为：221212...

若选择第一种序列作为先手，那么Alice获胜条件为：

元素1恰好只有1个，元素2的个数大于等于1，则第2步Bob就输了。
元素1的个数至少2个，且元素1个数 $\le$ 元素2个数。那么在某一步上Bob只能选2，此时被移除元素和能被3整除，Alice胜。总结：有元素1，且数量小于等于元素2的数量。即 num1 $\ge$ 1 && num1 $\le$ num2.

若选择第二种序列作为先手，那么Alice获胜条件为：

元素2恰好只有1个，元素1的个数大于等于1，则第2步Bob就输了。
元素2的个数至少2个，且元素2个数 $\le$ 元素1个数。那么在某一步上Bob只能选1，此时被移除元素和能被3整除，Alice胜。总结：有元素2，且数量小于等于元素1的数量。即 num2 $\ge$ 1 && num2 $\le$ num1.

综上所述： $num1 \ge 1$ && $num2 \ge 1$

那么结合元素0的情况：

当元素0个数为偶数时，对结果无影响，Alice获胜条件为： $num1 \ge 1$ && $num2 \ge 1$
当元素0个数为奇数时，Alice若要获胜，在选择第一种序列的情况下，num1 - num2 > 2。在选择第二种序列的情况下，num2 - num1 > 2。即Alice获胜的条件为：num1 - num2 > 2 || num2 - num1 > 2.

复杂度分析：

需遍历数组求出每个元素的个数，所需时间复杂度为 $O(n)$ 。

四、编码

public class stoneGameIX {
    public boolean stoneGameIX(int[] stones) {
        int count0 = 0, count1 = 0, count2 = 0;
        for (int stone : stones) {
            if (stone % 3 == 0){
                count0++;
            } else if (stone % 3 == 1){
                count1++;
            } else {
                count2++;
            }
        }
        if (count0 % 2 == 0) {
            return count1 >= 1 && count2 >= 1;
        } else {
            return (count1 -count2 > 2) || (count2 - count1 > 2);
        }
    }
}

每日一题-石子游戏 IX