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前言

Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！   机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！

系列文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（1）：图的基本概念

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示

2.1 路径与连通

定义2.1

在无向图$G=(V,E,\psi)$中，设$\psi(e_i)=\nu_{i-1}\nu_i(i=1,2,...,k)$:

• 序列$\nu_0e_1\nu_1e_2\nu_2...e_k\nu_k$称为从$\nu_0$到$\nu_k$的一条通路，记为$W_{\nu_0\nu_k}$
• 边不重复但顶点可以重复的通路称为道路，记为$T_{\nu_0\nu_k}$
• 顶点不重复的通路称为路径，记为$P_{\nu_0\nu_k}$

在一个简单图里，通路可表示为一个顶点序列$\nu_0\nu_1\nu_2,...,\nu_k$。

显然，若$u$与$v$之间存在通路，则$u$与$v$之间一定存在路径

定义2.2

设$G$是一个无向图：

• 若$G$中存在路径$P_{uv}$，则称顶点$u$与$v$在$G$中连通
• 若$G$中任意两个顶点都连通，则称$G$连通
• $G$的最大连通子图称为$G$的连通片（或$G$的分图），用$w(G)$表示$G$的连通片数目

$G$是连通图当且仅当$w(G)=1$

例2.1

有$2n$个电话交换台，每个台与至少$n$个台有直通线路，则其中任意两台之间可以通话

证明

问题可以转化为：$2n$个顶点的简单图，记作$G$，每个顶点的次数至少为$n$，则$G$是连通的

反证法，首先假设图$G$不连通，则$G$至少含有两个连通片

我们选择顶点数较少的那个连通片，可以得到此连通片中的顶点数量最多是$n$

一共$2n$个，分为两部分，平均分就是$n$和$n$，任一连通片顶点数目都是$n$ 若不是平均分，则肯定有一个顶点数目大于$n$ ，另一个小于$n$ 那么较少的那个连通片中的顶点数目也就小于$n$ 综上，选择顶点数较少的那个连通片时，其顶点数量最多是$n$（小于等于$n$）

而在此连通片中，顶点的次数最大只能是$n-1$，每个顶点的次数至少为$n$相矛盾

顶点数目为$n$时，顶点次数最大也就是$n-1$ 因为一个顶点最多只能与其余$n-1$个顶点相连

故，假设不成立

说明：$2n$个顶点的简单图，记作$G$，每个顶点的次数至少为$n$，则$G$是连通的

例2.3

图中只有两个奇次顶点，则这两个顶点必定连通

证明

反证法，假设这两个顶点不连通

则一定是分别属于两个不同的连通片

对其中一个连通片进行分析：

• 因为图中一共只有两个奇次顶点
• 而这两个奇次顶点又分属不同的连通片
• 那么在其中一个连通片中，一定是只含有一个奇次顶点
• 这与在任意一个图中，奇次顶点的个数一定是偶数相矛盾

故，假设不成立

说明：图中只有两个奇次顶点，则这两个顶点必定连通

定义2.3

（1）起点和终点重合的路径称为圈，记为$C_k$，其中$k$为圈所含的边的数目

（2）一条路径（或圈）所含边的数目称为这条路径（或圈）的长度

（3）长度为奇数的圈称为奇圈，记为$C_{2n+1}$；长度为偶数的圈称为偶圈，记为$C_{2n}$

定义2.4

$G$中顶点$u$到$v$的最短路径的长度，称为$u$与$v$之间的距离，记为$d(u,v)$

定理2.1

$G$是二部图当且仅当$G$不含奇圈

证明

证必要性：$G$是二部图\quad\Rightarrow\quad$$G不含奇圈

若$G$中无圈，则必然无奇圈

若$G$中有圈，假设为$C=v_0v_1v_2....v_kv_0（起点、终点为v_0）$

假设$v_0\in X$，则

$v_0,v_2,v_4,...v_0\in X$

$v_1,v_3,v_5,...,v_k\in Y$

二部图中，$X$中的所有顶点都不相邻，$Y$中的顶点也是不相邻的 $v_0v_1$说明$v_0、v_1$是相邻的，故分别属于$X$和$Y$

可以发现，$k$是奇数（观察式子，找规律）

那么这个圈的长度就是$k+1$，为偶数

说明不是奇圈

综上可得，$G$是二部图\Rightarrow$$G不含奇圈

---

证充分性：$G$不含奇圈\quad\Rightarrow\quad$$G是二部图

假设$G$是连通图，$G$中无奇圈

任取$v_1\in V(G)$，令

$X=\{v｜v\in V(G),d(v_1,v)是偶数\}$

$Y=\{v｜v\in V(G),d(v_1,v)是奇数\}$

$d(v_1,v)$表示顶点$v$到顶点$v_1$的距离（最短路径的长度） 因为$G$是连通图，那么所有的顶点都可以与$v_1$点连通，都具有距离，那么可以依据距离的奇偶性进行划分为两部分

设$u,v\in X$，$P$是$v_1$到$u$的最短路径，$Q$是$v_1$到$v$的最短路径

假设$m$是$P、Q$的最后一个公共点，那么有$P_1(v_1,m)$到$Q_1(v_1,m)$等长

如果路径$P、Q$没有公共路径，那么$|P_1|=|Q_1|=0$，也是等长 如果存在公共路径，那么，很显然，$|P_1|=|Q_1|$，等长

设$P_2(m,v),Q_2(m,u)$为$P、Q$中非公共路径

依据路径的定义，有

又$|P_1|=|Q_1|$，说明$P_1,Q_1$有相同的奇偶性

因为$|P|,|Q|$都是偶数，且$P_2,Q_2$有相同的奇偶性

若$P_1=Q_1$是奇数 由$P_1+P_2=偶数$、$Q_1+Q_2=偶数$ 得到，$P_2=Q_2一定是奇数$ 同理，若$P_1=Q_1是偶数$，那么$P_2=Q_2一定是偶数$ 故，$P_2,Q_2$具有相同的奇偶性

若$u,v$是相邻的，那么$P_2,Q_2,uv$围成的一个圈的长度肯定是奇数

$P_2,Q_2$具有相同的奇偶性 但无论是奇数还是偶数，$|P_2|+|Q_2|$ 都是偶数 然后再加一个$d(u,v)=1$：奇数，最后结果一定是一个奇数

而这却与假设$G$中无奇圈矛盾，故，$uv$肯定是不相邻的

又因为$u,v\in X$，说明$X$中任意两个顶点都是不相邻的

同理可得，$Y$中任意两个顶点都是不相邻的

综上可以得出，$G$是划分为$(X,Y)$的二部图

说明：证明充分性时，有点不太严谨，一开始便假设$G$是连通图，并未对$G$是非连通图进行证明

例2.3

在一个简单图$G$中，若$G$的每个顶点的次数都是2，则$G$含有一个圈

证明

设$P(u,v)$是图G中的最长路径

路径：顶点要求不可以重复 简单图：无环、无重边 环：一条边的两个端点都是一个顶点 重边：两个顶点间有不止一条边，这些边称为重边

因为G中每个顶点的次数至少是2

所以至少还存在一条边e与v关联，设e的另一个端点为w

若$w$不在路径P(u,v)中，即$w\notin P(u,v)（w不在路径P(u,v)上）$

那么图G中的最长路径其实是$P(u,w)$

但这与假设相矛盾

故，$w一定在路径P(u,v)上$

那么G中就含有一个圈

综上：在一个简单图$G$中，若$G$的每个顶点的次数都是2，则$G$含有一个圈

例2.4

$G$是简单图，每个顶点次数不小于3，则$G$中有偶圈

证明

注意：依据题目叙述，我们只需要证明G中存在一个偶圈即可

设$v_0,v_1,v_2,...,v_m$是G中的一条最长路径

因为任意一个顶点的次数都大于等于3

则$v_0$至少还与两个端点$v_i,v_j(i \neq j)$相关联

由例2.3可知，这两个端点$v_i,v_j$一定是在路径$v_0,v_1,v_2,...,v_m$中，即$1 < i < j \leq m$

当$i或j$其中一个为奇数，假设$i$是奇数

那么$v_0v_1v_2,...,v_i$和$v_iv_0$合成圈的长度为：$i+1$，是一个偶圈

$d(v_0,d_i)=i$,是奇数 $d(v_i.v_0)=1$ 故，$d(v_0,d_i)+d(v_i,v_0)$为偶数

当$i、j$都是偶数时

观察由$v_i,v_{i+1},...,v_{j}$和$v_0v_i、v_0v_j$组成的圈

长度是：$(j-i)+1+1$，结果是偶数，即此时$G$也是存在偶圈的

综上，$G$是简单图，每个顶点次数不小于3，则$G$中有偶圈

结语

说明：

• 参考于 课本《图论》
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正