LeetCode探索（15）：516-最长回文子序列

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前言

时间过得挺快，这段时间也有点忙，自上次更文以来，时间已经过了快2个月了...

最近做了很多动态规划相关的题目，对于这类题目的解题方法也略知一二，无外乎寻找状态转移方程、考虑题目的边界情况、进行求解等步骤。

题目

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 仅由小写英文字母组成

思考

解答这道题，首先要仔细去理解题意。子序列有两个特征：（1）不改变剩余字符顺序；（2）可以删除某些字符或者不删除任何字符。

其次，对于长度大于 2 的回文子序列，将它首尾的两个字符去除之后，它仍然是个回文子序列。因此我们可以借助动态规划的方法去求解该问题。

我们用dp[i][j]表示字符串 s 的下标范围 [i, j]内的最长回文子序列的长度。长度为 1 的子序列都是回文子序列，那么对任意 0≤i<n，都有 dp[i][i]=1。

当 i < j 时，

• 如果 s[i] 等于 s[j]，则状态转移方程为dp[i][j] = dp[i+1][j−1] + 2

• 如果 s[i] 不等于 s[j]，则 s[i] 和 s[j] 不可能同时作为同一个回文子序列的首尾，因此状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j−1])

解答

方法一：动态规划

var longestPalindromeSubseq = function(s) {
  let len = s.length
  if (!s || len === 0) {
    return 0
  }
  let dp = new Array(len).fill(0).map(() => new Array(len).fill(0))
  for (let i = len - 1; i >= 0; i--) { // 需要从len-1开始遍历
    dp[i][i] = 1
    for (let j = i + 1; j < len; j++) {
      if(s[i] === s[j]) {
        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
      } else {
        dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])
      }
    }
  }
  return dp[0][len - 1]
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是字符串 s 的长度。
• 空间复杂度：O(n^2)，其中 n 是字符串 s 的长度。

参考

• 最长回文子序列