382. 链表随机节点（中等）

一、题目描述

给你一个单链表，随机选择链表的一个节点，并返回相应的节点值。每个节点 被选中的概率一样 。

实现 Solution 类：

• Solution(ListNode head) 使用整数数组初始化对象。
• int getRandom() 从链表中随机选择一个节点并返回该节点的值。链表中所有节点被选中的概率相等。

二、示例 

示例：

输入
["Solution", "getRandom", "getRandom", "getRandom", "getRandom", "getRandom"]
[[[1, 2, 3]], [], [], [], [], []]
输出
[null, 1, 3, 2, 2, 3]

解释
Solution solution = new Solution([1, 2, 3]);
solution.getRandom(); // 返回 1
solution.getRandom(); // 返回 3
solution.getRandom(); // 返回 2
solution.getRandom(); // 返回 2
solution.getRandom(); // 返回 3
// getRandom() 方法应随机返回 1、2、3中的一个，每个元素被返回的概率相等。

提示：

• 链表中的节点数在范围 $[1, 10^4]$ 内
• $-10^4$ <= Node.val <= $10^4$
• 至多调用 getRandom 方法 $10^4$ 次

三、分析

依题意，给定单链表，需实现链表初始化以及随机选择并返回一个节点值的功能。我们只需要在链表初始化时，用一数组记录该链表节点值即可。

复杂度分析：

需要遍历链表，所需时间复杂度为$O(n)$。需要存储链表所有元素的值，所需空间复杂度为$O(n)$。

四、编码

public class Solution {
    List<Integer> nodeList;
    Random random;

    public Solution(ListNode head) {
        nodeList = new ArrayList<>();
        random = new Random();
        while (head != null) {
            nodeList.add(head.val);
            head = head.next;
        }
    }

    public int getRandom() {
        return nodeList.get(random.nextInt(nodeList.size()));
    }

class ListNode {
       int val;
       ListNode next;
       ListNode() {}
       ListNode(int val) { this.val = val; }
       ListNode(int val, ListNode next) { this.val = val; this.next = next; }
    }
}

五、进阶

• 若链表非常大且长度未知，该怎么处理？
• 能否在不使用额外空间的情况下解决此问题？

蓄水池抽样算法

题目要求为：在所有样本中抽出若干样本，要求每个样本被抽中的概率相等。

具体算法如下：从链表头开始，遍历整个链表，对遍历到的第 i 个节点，随机选择区间 [0,i) 内的一个整数，如果其等于 0，则将答案置为该节点值，否则答案不变。

该算法会保证每个节点的值成为最后被返回的值的概率均为 $\frac{1}{n}$ ，证明如下： 假设最终成为答案的样本编号为 i，那么 i 成为答案的充要条件为:在遍历到 i 时被选中且在遍历所有大于 i 的元素时，均没有被选中。
那么该事件概率为：

化简可得：

最终可得：$P=\frac{1}{n}$
因此，在每一次调用 getRandom() 时，从前往后处理每个节点，同时记录当前节点的编号，当处理到节点 i 时，在 [0, i)范围内进行随机，若随机到结果为 0（发生概率为 $\frac{1}{i}$ ），则将节点 i 的值存入答案，最后一次覆盖答案的节点即为本次抽样结果，每个样本抽中的概率均为$\frac{1}{n}$。

复杂度分析：

所需时间复杂度为$O(n)$，需遍历链表。但所需的空间复杂度为$O(1)$。

编码：

class Solution {
    ListNode head;
    Random random;

    public Solution(ListNode head) {
        this.head = head;
        random = new Random();
    }

    public int getRandom() {
        int i = 1, ans = 0;
        for (ListNode node = head; node != null; node = node.next) {
            // 1/i 的概率选中（替换为答案）
            if (random.nextInt(i) == 0) { 
                ans = node.val;
            }
            ++i;
        }
        return ans;
    }
}

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